Questão 2 Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2

a) Graficamente tem-se que o tempo que Marcia demora para completar uma volta equivale a um período da função, logo, como indicado na figura abaixo, o período é de $24$segundos.

Como Marcia está sobre uma pista circular com velocidade angular constante, então, a velocidade linear também é constante, logo:

$V_{Linear}=\frac{200 \mathrm{m}}{24 \mathrm{s}}=\frac{25}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Logo, em $60$ segundos, Marcia percorreu:

$D=\frac{25}{3}·60=\boxed{500 \mathrm{m}}$

b) Seja $M$ a posição de Marcia na pista e $E$ a posição do equipamento eletrônico, então, pode-se fazer a seguinte representação:

Como a distância entre $\mathrm{M}$ e o centro $\mathrm{C}$ é igual à distância de $\mathrm{M}$ ao ponto $\mathrm{E}$ e seja $\mathrm{P}$ o ponto de intersecção do segmento $\overline{\mathrm{CE}}$ com a circunferência, então, $\mathrm{MC}=\mathrm{ME}=\mathrm{CP}=r$, note que $\mathrm{P}$ é o ponto da pista circular mais próximo de $E$, logo, do gráfico, tem-se que $\mathrm{PE}=10 \mathrm{m}$.

Tem-se que o comprimento da pista é de $200 \mathrm{m}$, logo:

$2\mathrm{\pi r}=200\Rightarrow \mathrm{r}=\frac{100}{\mathrm{\pi }}$

Então, o triângulo $CME$:

Como $H$ é o pé da altura de um triângulo isósceles, então, $H$ é também ponto médio da base, logo:

$\cos \alpha =\frac{CH}{CM}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{100}{\mathrm{\pi }}}+10}{2}}}{{\displaystyle \frac{100}{\mathrm{\pi }}}}\Rightarrow \boxed{\cos \alpha =\frac{10+\mathrm{\pi }}{20}\cong 0,65}$