Questão 3 Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Fatoração Probabilidade

Heloísa está brincando com uma urna que contém dez bolinhas, sendo três azuis, três verdes e quatro rosas. Ela resolve construir uma sequência numérica $x_{0}, x_{1}, x_{2}, . . .$ de acordo com as cores das bolinhas que sorteia da urna. O primeiro termo da sequência $x_{0} = 1$ .

A cada sorteio, um novo termo da sequência é determinado multiplicando-se o termo anterior:

por 2, se a bolinha sorteada for azul;
por 3, se a bolinha sorteada for verde;
por 5, se a bolinha sorteada for rosa.

A bolinha sorteada é devolvida para a urna antes do próximo sorteio. Por exemplo, se nos três primeiros sorteios Heloísa retira, respectivamente, uma bolinha rosa, uma verde e uma azul, então a sequência obtida é

$x_{0} = 1,$
$x_{1} = 5 \cdot x_{0} = 5,$
$x_{2} = 3 \cdot x_{1} = 15,$
$x_{3} = 2 \cdot x_{2} = 30 .$

a) É possível que Heloísa obtenha uma sequência contendo o termo $189$ ? Justifique.

b) Qual a probabilidade de Heloísa obter o número $360$ como termo de uma sequência?

Resolução

a) Uma vez que o número $189$ , quando fatorado em números primos, equivale a $3^{3} \cdot 7$ , para se obter o número $189$ como um dos termos da sequência seria necessário possuir o $7$ como um dos fatores multiplicativos. Sendo assim, como só ocorrem multiplicações pelos fatores $2$ , $3$ e $5$ , concluímos que é impossível Heloísa obter um termo da sequência igual a $189$ .

b) Fatorando o número $360$ em números primos, obtemos

$360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$

Assim, para que Heloísa obtenha o número $360$ em sua sequência é necessário que ela sorteie da urna exatamente três bolinhas azuis, duas bolinhas verdes e uma bolinha rosa.

Como a ordem dos fatores não altera o produto, qualquer sequência com essas seis bolinhas resulta no termo $360$ . Logo, o número de sequências possíveis corresponde ao número de anagramas da palavra $A A A V V R$ . Tal quantidade pode ser calculada através de uma permutação com repetição:

$P_{6}^{3, 2} = \frac{6!}{3! \cdot 2!} = 60 sequências$

Ora, como os sorteios são feitos com reposição, em qualquer etapa da sequência a probabilidade de se retirar uma bolinha azul é $P_{A} = \frac{3}{10}$ , a probabilidade de se retirar uma bolinha verde é $P_{V} = \frac{3}{10}$ e a probabilidade de se retirar uma bolinha rosa é $P_{R} = \frac{4}{10}$ . Sendo assim, cada uma das sequências possíveis possui probabilidade

${(P_{A})}^{3} \cdot {(P_{V})}^{2} \cdot (P_{R}) = {(\frac{3}{10})}^{3} \cdot {(\frac{3}{10})}^{2} \cdot \frac{4}{10} = \frac{3^{5}}{2^{4} \cdot 5^{6}}$

Portanto, a probabilidade de Heloísa obter o número $360$ como um termo de sua sequência é

$P = 60 \cdot \frac{3^{5}}{2^{4} \cdot 5^{6}} = \frac{3^{6}}{2^{2} \cdot 5^{5}}$

$P = \frac{729}{12500}$