Questão 5 Unicamp 2022 - 2ª fase - dia 2

a) Como $x=-1$ é uma raiz, utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para fatorar o polinômio $f\left(x\right)$, temos:

Assim, $f\left(x\right)=\left(x+1\right)·\left(x^2+ax+2\right)$. Para que apenas $x=-1$ seja raiz real, então o fator de grau 2 de f deve gerar apenas raízes complexas não reais. Deste modo, podemos afirmar que o discriminante desse fator deve ser negativo. Logo,

$∆<0\iff a^2-4·1·2<0\iff a^2-8<0$

Analisando a função quadrática em a, temos:

Raízes: $a^2-8=0\iff a=\pm 2\sqrt{2}$ 

Parábola com concavidade para cima, já que o coeficiente do termo quadrático é positivo. Deste modo, analisando o sinal da função, temos:

Portanto, para que o polinômio f(x) possua apenas $x=-1$  como raiz real os valores de a são tais que $\boxed{-2\sqrt{2}<a<2\sqrt{2}}$.

b) Utilizando a fatoração do item anterior, segue que:

$f\left(x\right)=\left(x+1\right)·\left(x^2+ax+2\right)$

Assim, para que f(x) tenha apenas raízes inteiras, devemos impor ao fator quadrático da fatoração acima que ele possua duas raízes reais e inteiras. Assim, utilizando as relações de Girard para a soma e o produto das raízes, temos:

$$\begin{gathered} S=-\frac{a}{1}=-a \\ P=\frac{2}{1}=2 \end{gathered}$$

Logo, pela relação do produto:

$r_1·r_2=2$

Como as raízes devem ser inteiras, só há dois pares de inteiros que satisfazem a relação de produto acima. São eles:

$\left\{\begin{array}{l}{r}_1=1\\ r_2=2\end{array}\right. \text{ou }\left\{\begin{array}{l}{r}_1=-1\\ r_2=-2\end{array}\right.$

Para o primeiro caso, utilizando a relação de soma, temos:

$S=-a\iff r_1+r_2=-a\iff 1+2=-a\iff \boxed{a=-3}$

Para o segundo caso, utilizando a relação de soma, temos:

$S=-a\iff r_1+r_2=-a\iff -1+\left(-2\right)=-a\iff \boxed{a=3}$

Logo, os valores de $a$ tais que $f\left(x\right)=0$ possua apenas soluções inteiras são 3 e -3.