Questão 57 Unesp 2022 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 57

Quadrilátero Teorema de Pitágoras Circunferência G.A.

O inversor de Peaucellier é um mecanismo articulado, inventado no século XIX, que permite transformar movimento retilíneo em movimento circular. O mecanismo é composto por seis barras articuladas e um ponto fixo, conforme mostra a figura.

(https://pt.wikipedia.org)

Na figura 1, $P$ é o ponto fixo do mecanismo, $A$ , $B$ , $C$ e $D$ são as quatro articulações, que são pontos móveis, $A B C D$ é um losango e $P A = P C$ . A figura 2 mostra um inversor de Peaucellier em que $\bar{P B}$ e $\bar{A C}$ são diagonais do quadrilátero $P A B C$ , $P A = P C = 10 cm$ , $B D = 12 cm$ e $M$ é ponto médio de $\bar{A C}$ e $\bar{B D}$ .

Sendo $P D = x$ e $A M = y$ , ambos em centímetros, no sistema cartesiano de eixos ortogonais $O x y$ , origem $O (0, 0)$ e semieixo positivo $O x$ contendo a diagonal $\bar{B D}$ , o gráfico da equação que relaciona $x$ e $y$ é uma

a)	circunferência de centro $(- 6, 0)$ e raio igual a 10 cm.
b)	elipse de centro $(- 6, 4)$ e eixo maior igual a 10 cm.
c)	circunferência de centro $(0, 6)$ e raio igual a 10 cm.
d)	elipse de centro $(0, - 6)$ e eixo menor igual a 4 cm.
e)	circunferência de centro $(0, - 6)$ e raio igual a 10 cm.

Resolução

Por hipótese, tem-se que $A B C D$ é um losango, logo suas diagonais são perpendiculares. Além disso, $P D = x$ e $A M = y$ , de modo que podemos propor a seguinte figura:

Note que o triângulo $A M P$ é retângulo em $M$ . Aplicando o Teorema de Pitágoras:

${(x + 6)}^{2} + y^{2} = 10^{2}$

No sistema cartesiano, toda equação na forma:

${(x - x_{c})}^{2} + {(y - y_{c})}^{2} = R^{2}$

representa uma circunferência de centro $(x_{c}, y_{c})$ e raio $R$ , com $R > 0$ .

Portanto, a equação encontrada representa uma circunferência de centro $(- 6, 0)$ e raio $10$ .

Observação:

Uma vez que $x$ e $y$ são comprimentos, tem-se que ambos são positivos, logo a resposta mais adequada seria "um arco da circunferência com centro $(- 6, 0)$ e raio $10$ contido no primeiro quadrante" como ilustrado na figura abaixo: