Questão 59 Unesp 2022 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 59

Relações Métricas e Trigonométricas

A órbita da Lua em torno da Terra é elíptica, porém, podemos considerá-la aproximadamente circular, com ciclo completo de aproximadamente 27,3 dias. As imagens a seguir mostram como visualizamos, da Terra, as fases da Lua em função do ângulo $θ$ , com x e y dados em quilômetros.

Sendo r a medida, em quilômetros, do raio da Lua, os valores de x e y, ambos em função de $θ$ , nesse modelo são

a)	$x = r - r \cdot sen (θ)$ e $y = r + r \cdot sen (θ)$ .
b)	$x = r - r \cdot \cos (θ)$ e $y = r + r \cdot \cos (θ)$ .
c)	$x = r + r \cdot \cos (θ)$ e $y = r - r \cdot \cos (θ)$ .
d)	$x = r + r \cdot sen (θ)$ e $y = r - r \cdot sen (θ)$ .
e)	$x = r + r \cdot sen (2 θ)$ e $y = r - r \cdot sen (2 θ)$ .

Resolução

Observe a figura abaixo que representa a situação descrita no enunciado já com os pontos de tangência dos raios solares com relação à Terra identificados e nomeados.

Observe o quadrilátero $A C D F$ . A soma dos ângulos internos desse quadrilátero é dada por:

$θ + 90 ° + 90 ° + D \hat{C} A = 360 ° \Leftrightarrow D \hat{C} A = 180 ° - θ$

Observe também o triângulo $C K A$ identificado abaixo.

Note que o ângulo $A \hat{C} K$ é suplementar ao ângulo $D \hat{C} A$ , logo:

$A \hat{C} K = 180 ° - D \hat{C} A \Leftrightarrow A \hat{C} K = 180 ° - (180 ° - θ) \Leftrightarrow A \hat{C} K = θ$

Assim, pelas relações trigonométricas no triângulo $C K A$ , temos:

$\cos (θ) = \frac{C K}{C A} \Leftrightarrow \cos (θ) = \frac{C K}{r} \Leftrightarrow C K = r \cdot \cos (θ)$

Como $D K = J L = x$ , temos:

$x = D C + C K \Leftrightarrow x = r + r \cdot \cos (θ)$

Segue, também, que $K E = L I = y$ , então:

$y = C E - C K \Leftrightarrow y = r - r \cdot \cos (θ)$