Questão 60 Unesp 2022 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 60

Razão e Proporção Áreas de quadriláteros

Cada vez que clicamos com o mouse em um mapa mostrado na tela de um computador, a representação das distâncias no mapa dobram, como ilustra a figura.

(Google Maps, 2021.)

Após clicar certo número de vezes no mouse desse computador, um quadrado, que no primeiro mapa correspondia na realidade a um quadrado de área igual a 8 km², passa a ser um quadrado com área real correspondente a 32 768 km². Nessa situação, o número de cliques feitos no mouse do computador foi igual a

a)	12.
b)	6.
c)	15.
d)	13.
e)	7.

Resolução

Lembramos que se duas figuras são semelhantes, com razão de semelhança $k$ , então as áreas correspondentes estarão em razão $k^{2}$ .

Logo, cada vez que clicamos com o mouse no mapa, e a representação da distância é multiplicada por $2$ , a área do mapa fica multiplicada por $2^{2} = 4$ .

Assim, partindo de uma área inicial $A_{0}$ representada no mapa, após $n$ cliques feitos no mouse, a área $A_{n}$ representada no mapa será dada por:

$A_{n} = A_{0} \cdot 4^{n}$

Portanto, na situação apresentada no enunciado, temos que:

$32768 = 8 \cdot 4^{n} \Leftrightarrow 4096 = 4^{n} \Leftrightarrow 4^{6} = 4^{n} \Leftrightarrow n = 6$