Questão 51 Fuvest 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 51

Teorema da Energia Cinética Sistemas Conservativos na Dinâmica

Uma criança deixa cair de uma mesma altura duas maçãs, uma delas duas vezes mais pesada do que a outra. Ignorando a resistência do ar e desprezando as dimensões das maçãs frente à altura inicial, o que é correto afirmar a respeito das energias cinéticas das duas maçãs na iminência de atingirem o solo?

a)	A maçã mais pesada possui tanta energia cinética quanto a maçã mais leve.
b)	A maçã mais pesada possui o dobro da energia cinética da maçã mais leve.
c)	A maçã mais pesada possui a metade da energia cinética da maçã mais leve.
d)	A maçã mais pesada possui o quádruplo da energia cinética da maçã mais leve.
e)	A maçã mais pesada possui um quarto da energia cinética da maçã mais leve.

Resolução

Sejam $m_{1}$ e $m_{2}$ as massas das maçãs mais leve e mais pesada, respectivamente. Seus pesos são dados por $P_{1} = m_{1} \cdot g$ e $P_{2} = m_{2} \cdot g$ respectivamente. Como a maçã mais pesada pesa o dobro da menos pesada:

$P_{2} = 2 P_{1} \Rightarrow m_{2} \cdot g = 2 m_{1} \cdot g \Rightarrow m_{2} = 2 m_{1} .$

Ambas as maçãs caem de uma mesma altura $h$ (desconsiderando seus tamanhos) e, desprezando a resistência do ar, há conservação de energia ao longo da queda, de modo que a energia cinética de cada maçã imediatamente antes de chegar ao chão é igual à energia potencial gravitacional em relação ao chão no início da queda:

$E_{c i n, c h ã o} = E_{p o t, i n í c i o} = m \cdot g \cdot h .$

Temos então que as energias cinéticas ao chegarem no chão são $E_{1} = m_{1} \cdot g \cdot h$ e $E_{2} = m_{2} \cdot g \cdot h$ . Tomando a razão entre ambas, temos

$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{m_{2} \cdot g \cdot h}{m_{1} \cdot g \cdot h} = \frac{2 m_{1}}{m_{1}} = 2 \Rightarrow E_{2} = 2 E_{1} .$

Com isso mostramos que a maçã mais pesada possui o dobro da energia cinética da maçã mais leve, e a alternativa b é a correta.

Resolução alternativa

A variação da energia cinética de cada maçã será igual ao trabalho da força resultante atuando em cada uma. Na ausência de outras forças que não o peso $P$ , este trabalho será

$W = P \cdot h,$

em que $h$ é a altura da queda. Como a energia cinética inicial é nula, pois começam em repouso,

$W = E_{c i n, c h ã o} - E_{c i n, i n i c i a l} \Rightarrow E_{c i n, c h ã o} = W = P \cdot h .$

Com isso, as energias cinéticas de cada maçã serão $E_{1} = P_{1} \cdot h$ e $E_{2} = P_{2} \cdot h$ . Como $P_{2} = 2 P_{1}$ ,

$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{P_{2} \cdot h}{P_{1} \cdot h} = \frac{2 P_{1}}{P_{1}} = 2 \Rightarrow E_{2} = 2 E_{1} .$