Questão 56 Fuvest 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 56

Órbitas Circulares (Satélites)

O canhão de Newton, esquematizado na figura, é um experimento mental imaginado por Isaac Newton para mostrar que sua lei da gravitação era universal. Disparando o canhão horizontalmente do alto de uma montanha, a bala cairia na Terra em virtude da força da gravidade. Com uma maior velocidade inicial, a bala iria mais longe antes de retornar à Terra. Com a velocidade certa, o projétil daria uma volta completa em torno da Terra, sempre “caindo” sob ação da gravidade, mas nunca alcançando a Terra. Newton concluiu que esse movimento orbital seria da mesma natureza do movimento da Lua em torno da Terra.

Qual deveria ser a velocidade inicial de um projétil lançado horizontalmente do alto do Everest (a uma distância aproximada de 6.400 km do centro da Terra) para colocá-lo em órbita em torno da Terra?

Note e adote:
Despreze a resistência do ar.
Aceleração da gravidade: g = 10 m/s²

a)	8 km/s
b)	11,2 km/s
c)	80 km/s
d)	112 km/s
e)	8.000 km/s

Resolução

Na trajetória circular devida à força da gravidade, esta atua como força resultante centrípeta, de modo que

$F_{g r a v} = F_{c p} \Rightarrow m \cdot g = m \frac{v^{2}}{R} \Rightarrow$

$v^{2} = g \cdot R \Rightarrow v = \sqrt{g \cdot R},$

em que $g = 10 m / s^{2}$ é a aceleração da gravidade na órbita. Como o raio da órbita sugerida é

$R = 6.400 km = 6.400.000 m = 6, 4 \cdot 10^{6} m,$

temos, calculando em unidades do Sistema Internacional,

$v = \sqrt{g \cdot R} = \sqrt{10 \cdot 6, 4 \cdot 10^{6}} = \sqrt{64 \cdot 10^{6}} \Rightarrow$

$v = 8 \cdot 10^{3} m / s \Rightarrow v = 8 km / s .$

Com isso, a alternativa correta é a.