Questão 102 Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 102

Condução Térmica na Calorimetria

Na montagem de uma cozinha para um restaurante, a escolha do material correto para as panelas é importante, pois a panela que conduz mais calor é capaz de cozinhar os alimentos mais rapidamente e, com isso, há economia de gás. A taxa de condução do calor depende da condutividade k do material, de sua área A, da diferença de temperatura $Δ T$ e da espessura d do material, sendo dada pela relação $\frac{ΔQ}{Δ t} = k A \frac{ΔT}{d}$ . Em panelas com dois materiais, a taxa de condução é dada por $\frac{ΔQ}{Δ t} = A \frac{ΔT}{\frac{d_{1}}{k_{1}} + \frac{d_{2}}{k_{2}}}$ em que $d_{1}$ , e $d_{2}$ são as espessuras dos dois materiais, e $k_{1}$ e $k_{2}$ são as condutividades de cada material. Os materiais mais comuns no mercado para panelas são o alumínio $(k = 20 \frac{W}{m \cdot K})$ , o ferro $(k = 8 \frac{W}{m \cdot K})$ e o aço $(k = 5 \frac{W}{m \cdot K})$ combinado com o cobre $(k = 40 \frac{W}{m \cdot K})$ (k = 40 W/m K).

Compara-se uma panela de ferro, uma de alumínio e uma composta de $\frac{1}{2}$ da espessura em cobre e $\frac{1}{2}$ da espessura em aço, todas com a mesma espessura total e com a mesma área de fundo.

A ordem crescente da mais econômica para a menos econômica é

a)	cobre-aço, alumínio e ferro.
b)	alumínio, cobre-aço e ferro.
c)	cobre-aço, ferro e alumínio.
d)	alumínio, ferro e cobre-aço.
e)	ferro, alumínio e cobre-aço.

Resolução

Análise preliminar da questão

Esta questão sugere uma interpretação bastante simplificada para a relação entre a condutibilidade térmica e a eficiência energética de uma panela. Os três fatores que mais contribuem para a eficiência de uma panela, ou seja, para que a panela aqueça mais rapidamente o que está em seu interior e mantenha a temperatura de cocção com a menor potência, são: a condutibilidade térmica $k,$ o calor específico $c$ , e a densidade $ρ$ do material. De nada adianta uma panela que conduza bem o calor (elevada condutibilidade) mas que utilize boa parte do calor para atingir o equilíbrio térmico (elevado calor específico e/ou elevada densidade).

Uma boa panela deve ser feita de materiais que possuem a razão $\frac{k}{c ρ}$ com elevado valor, ou seja, de materiais que possuem alta condutibilidade térmica, baixo calor específico e baixa densidade. Esta razão é denominada difusividade térmica: $α = \frac{k}{c ρ}$ .¹ Se a questão fosse tecnicamente precisa, a difusividade deveria ser considerada, porém é possível entender, baseando-se na falta de outras informações relevantes no enunciado, que a análise almejada se limita à da condutibilidade térmica. A resolução aqui mostrada se baseará na análise simplificada proposta no enunciado, levando em conta apenas o efeito da condução térmica: a de maior condução é mais econômica.

¹ESTUDO COMPARATIVO DA TAXA DE AQUECIMENTO DE QUATRO DIFERENTES TIPOS DE PANELAS (http://www.ufrgs.br/medterm/trabalhos/trabalhos-2008/Comparaodataxadeaquecimentodepanelas.pdf - Acessado em 28/11/2021 às 20h00)

Resolução

Para comparar as três panelas sugeridas, calcularemos a potência térmica de cada uma devida à condução, considerando as mesmas áreas $A$ e o mesmo gradiente térmico $Δ T$ , e a mesma espessura $d$ para a troca de calor.

1. Alumínio:

$P_{A l} = \frac{Δ Q}{Δ t} = A \frac{Δ T}{d / k_{A l}} = A \frac{Δ t}{d / 20} = 20 \cdot A \frac{Δ T}{d} .$

2. Ferro:

$P_{F e} = \frac{Δ Q}{Δ t} = A \frac{Δ T}{d / k_{F e}} = A \frac{Δ T}{d / 8} = 8 \cdot A \frac{Δ T}{d} .$

3. Cobre-aço: como há metade da espessura, $d / 2$ , com cada material,

$P_{A C} = \frac{Δ Q}{Δ t} = A \frac{Δ T}{\frac{d}{2 k_{A ç o}} + \frac{d}{2 k_{C u}}} = A \frac{Δ T}{\frac{d}{2 \cdot 5} + \frac{d}{2 \cdot 40}} \Rightarrow$

$P_{A C} = A \frac{Δ T}{\frac{d}{10} + \frac{d}{80}} = A \frac{Δ T}{\frac{9 d}{80}} = \frac{80}{9} A \frac{Δ T}{d} ≅ 8, 9 \cdot A \frac{Δ T}{d} .$

Comparando os valores, vemos que $P_{A l} > P_{A C} > P_{F e}$ . Com isso, a panela de Alumínio é a mais econômica, seguida da panela de ferro e, por último, da panela de cobre-aço. A alternativa correta é a b.