Questão 77 Unesp 2022 - 1ª fase - dia 1

Como a esfera está girando em uma trajetória circular em um plano horizontal, a força resultante do movimento deve ser horizontal e apontar para o centro da trajetória, já que é uma força resultante centrípeta. As duas forças atuando na esfera são seu peso $\overrightarrow{P}$ e a tração $\overrightarrow{T}$ do fio, mostradas na figura da esquerda abaixo. A soma de ambas é mostrada na figura da cireita em cima. Na figura da direita embaixo estão as dimensões do fio (65 cm) e do raio da trajetória (60 cm), bem como o ângulo $\theta$ formado entre o fio e a vertical.

A partir da construção da soma dos vetores, temos

$\cos \theta =\frac{P}{T}\Rightarrow T=\frac{P}{\cos \theta }. \left(1\right)$

A partir do triângulo com as medidas do comprimento do fio e do raio da trajetória, temos

$\mathrm{sen}\theta =\frac{60}{65}=\frac{12}{13}.$

Utilizando a relação trigonométrica fundamental, podemos determinar o cosseno deste ângulo:

${\mathrm{sen}}^2\theta +{\cos }^2\theta =1\Rightarrow {\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\cos }^2\theta =1\Rightarrow$

${\cos }^2\theta =1-\frac{144}{169}=\frac{169-144}{169}=\frac{25}{169}\Rightarrow$

$\cos \theta =\frac{5}{13}. \left(2\right)$

Foi escolhido o valor positivo para o cosseno pois vemos pela figura que $0°<\theta <90°$. Substituindo $\left(2\right)$ em $\left(1\right)$ e usando a massa $m=500 g=0,5 kg$ e a aceleração da gravidade $g=10 m/s^2$, encontramos

$T=\frac{m·g}{\cos \theta }=\frac{0,5·10}{5/13}=\frac{13·5}{5}\Rightarrow$

$\boxed{T=13 N}.$

Portanto, a alternativa c está correta.