Questão 22 Unicamp 2022 - 1ª fase

Primeiramente, perceba que os pontos $\left(p, 0\right)$ e $\left(q, 0\right)$ são as interseções da parábola com o eixo $x$. Isso significa que $p$ e $q$ são as raízes da equação $-x^2+bx+c=0$. Portanto, o valor de $p+q$ será dado pela soma das raízes (relações de Girard):

$S=p+q=-\frac{b}{-1}\Rightarrow \boxed{p+q=b}$

Para determinarmos o valor de $b$, veja que a parábola intercepta uma única vez com as retas. Desse modo, precisamos resolver cada um dos sistemas e ainda encontrar uma única solução. Isto é:

(1° caso): Interseção da parábola com a reta $y=2x+1$. 

$\left\{\begin{array}{l}y=-x^2+bx+c\\ y=2x+1\end{array}\Rightarrow -x^2+bx+c=2x+1\right.\therefore -x^2+\left(b-2\right)x+c-1=0$

Como é preciso se encontrem uma única vez, o sistema precisa ter uma única solução. Ou seja, a equação quadrática encontrada precisa ter discriminante nulo. Assim:

$△=0\Rightarrow {\left(b-2\right)}^2+4·\left(c-1\right)=0$

(2° caso): Interseção da parábola com a reta $y=1-\frac{x}{2}$. 

$\left\{\begin{array}{l}y=-x^2+bx+c\\ y=1-\frac{x}{2}\end{array}\Rightarrow -x^2+bx+c=1-\frac{x}{2}\right. \therefore -2x^2+\left(2b+1\right)x+2c-2=0$

Como é preciso se encontrem uma única vez, o sistema precisa ter uma única solução. Ou seja, a equação quadrática encontrada precisa ter discriminante nulo. Assim:

$△=0\Rightarrow {\left(2b+1\right)}^2+16·\left(c-1\right)=0$

Resolvendo o sistema nas variáveis $b$ e $c$:

$\left\{\begin{array}{l}{\left(b-2\right)}^2+4·\left(c-1\right)=0\\ {\left(2b+1\right)}^2+16·\left(c-1\right)=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}c-1=\frac{{\left(b-2\right)}^2}{4}\\ c-1=\frac{{\left(2b+1\right)}^2}{16}\end{array}\right. \therefore \frac{{\left(b-2\right)}^2}{4}=\frac{{\left(2b+1\right)}^2}{16}$

Manipulando a equação na variável $b$, temos:

${\left(2b+1\right)}^2=4·{\left(b-2\right)}^2\Rightarrow 20b-15=0\Rightarrow b=\frac{3}{4}$

Logo, 

$b=\boxed{p+q=\frac{3}{4}}$