Questão 23 Unicamp 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 23

Polinômio

O polinômio $p (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x = c$ é divisível por $2 x^{2} - x + 4$ . O valor de 𝑐 + 2𝑏 − 𝑎 é:

a)	9.
b)	15.
c)	21.
d)	25.

Resolução

Tem-se por hipótese que $p (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + c$ é divisível por $2 x^{2} - x + 4$ , ou seja, o resto da divisão é o polinômio nulo.

Busca-se encontrar o valor da expressão $c + 2 b - a$ .

1° Resolução:

Utilizando o método das chaves:

$2 x^{3} + a x^{2} + b x + c 2 x^{2} - x + 4 - 2 x^{2} + x^{2} - 4 x x + \frac{(a + 1)}{2} (a + 1) x^{2} + (b - 4) x + c - (a + 1) x^{2} + \frac{(a + 1)}{2} x - 2 (a + 1) (\frac{2 b + a - 7}{2}) x + (c - 2 a - 2)$

Igualando o resto ao polinômio nulo:

$\{\begin{cases} \frac{2 b + a - 7}{2} = 0 \\ c - 2 a - 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 b + a = 7 \\ c - 2 a = 2 \end{cases}$ .

Logo, somando as duas equações:

$\{\begin{cases} 2 b + a = 7 \\ c - 2 a = 2 \end{cases} \Rightarrow c + 2 b - a = 9$ .

2° Resolução:

Tem-se que o grau do dividendo é 3 e do divisor é 2, logo o grau do quociente é 1. Assim, vamos admitir que o quociente é do tipo $m x + p$ , de modo que, pelo método de Descartes:

$2 x^{3} + a x^{2} + b x + c = (m x + p) (2 x^{2} - x + 4) 2 x^{3} + a x^{2} + b x + c = 2 m x^{3} + (2 p - m) x^{2} + (4 m - p) x + 4 p$

Consequentemente, pela igualdade de polinômios, vem que:

$\{\begin{cases} 2 = 2 m \\ a = 2 p - m \\ b = 4 m - p \\ c = 4 p \end{cases}$

Da primeira igualdade, ficamos com $m = 1$ . A partir disso, substituindo nas demais:

$\{\begin{cases} m = 1 \\ a = 2 p - 1 \\ b = 4 - p \\ c = 4 p \end{cases}$

Então, a expressão pedida é dada por:

$c + 2 b - a = 4 p + 2 \cdot (4 - p) - (2 p - 1) = 4 p + 8 - 2 p - 2 p + 1 = 9$ .