Questão 24 Unicamp 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 24

Relações Métricas e Trigonométricas no Triângulo Retângulo

No dia 23 de março de 2021, um navio encalhou no canal de Suez, no Egito. A embarcação tinha 400 metros de comprimento e 60 metros de largura. No ponto onde aconteceu o acidente, o canal de Suez não tem mais do que 200 metros de largura. Abaixo apresentamos uma foto de satélite e uma figura representando a situação. O ângulo 𝛼 indicado na figura abaixo mede 67,5°.

A largura do canal, medida em metros e indicada por 𝐿 na figura anterior, é:

Dados:

• $\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} (θ) - 1$

• $sen (2 θ) = 2 sen (θ) \cos (θ)$

a)	$400 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 60 \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 195, 3$
b)	$200 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 15 \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 125, 4$
c)	$200 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 15 \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 180, 8$
d)	$200 \sqrt{3 - \sqrt{3}} - 15 \sqrt{3 + \sqrt{3}} \approx 192, 6$

Resolução

Marcando na figura os pontos A, B, C, D e E, uma reta em C paralela à margem e o segmento BC de comprimento L, perpendicular as margens:

Obtemos o seguinte esquema:

Note que, como $A C ⊥ C D \Rightarrow E \hat{C} D = α = 67, 5 °$ .

Buscamos o valor de $L = a + b$ :

(i) Valor da medida b:

No triângulo retângulo CDE, temos:

$\cos 67, 5 ° = \frac{b}{400} \Rightarrow b = 400 \cdot \cos 67.5 °$

Como:

$\cos 135 ° = \cos (2 \cdot 67, 5 °) - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \cos^{2} 67, 5 ° - 1 \frac{2 - \sqrt{2}}{4} = \cos^{2} 67, 5 ° \Rightarrow \cos 67, 5 ° = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Logo, $b = 400 \cdot \cos 67.5 ° = 400 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = 200 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

(ii) Valor da medida a:

No triângulo retângulo ABC, temos:

$sen 67, 5 ° = \frac{a}{30} \Rightarrow a = 30 \cdot sen 67.5 °$

Como:

$sen 135 ° = sen (2 \cdot 67, 5 °) \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot sen 67, 5 ° \cdot \cos 67, 5 ° \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot sen 67, 5 ° \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow sen 67, 5 ° = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Logo, $a = 30 \cdot sen 67.5 ° = 30 \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} = 15 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Portanto, $L = 200 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 15 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} m$