Questão 1 Fuvest 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Sistemas Conservativos na Dinâmica Lançamento não Vertical

Um plano de inclinação $θ$ situa-se sobre uma mesa horizontal de altura $4 h$ , conforme indicado na figura. Um carrinho de massa $m$ parte do repouso no ponto $A$ , localizado a uma altura $h$ em relação à superfície da mesa, até atingir o ponto $B$ na parte inferior do plano para então executar um movimento apenas sob a ação da gravidade até atingir o solo a uma distância horizontal $D$ da base da mesa, conforme mostra a figura. Ao utilizarmos rampas com diferentes inclinações $θ$ (com o carrinho sempre partindo de uma mesma altura $h$ ), obtemos diferentes alcances horizontais $D$ .

a) Calcule o intervalo de tempo decorrido entre a partida do carrinho, situado inicialmente no topo do plano inclinado, até atingir o solo, considerando o valor para a inclinação $θ = 90 °$ .

b) Usando a conservação da energia mecânica e supondo agora uma inclinação $θ$ qualquer, obtenha o módulo do vetor velocidade |𝑣⃑| com que o carrinho deixa a superfície do plano inclinado.

c) Encontre o valor do alcance $D$ supondo que a inclinação do plano seja de $θ = 45 °$ .

Resolução

a) Na situação em que $θ = 90 º$ o carrinho cairá na vertical de uma altura total de 5h. Com isso, podemos usar a função horária da posição em função do tempo na vertical usando o referencial de baixo para cima com origem no solo:

$s = s_{0} + v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2} \Rightarrow$

$0 = 5 h + 0 + \frac{(- g) \cdot {t_{q u e d a}}^{2}}{2} \Rightarrow$

${t_{q u e d a}}^{2} = \frac{10 h}{g} \Rightarrow$

$t_{q u e d a} = \sqrt{\frac{10 h}{g}} .$

b) Desprezando-se o trabalho de forças dissipativas, a energia mecânica no ponto A é igual a energia mecânica no ponto B. Considerando a altura do ponto B como origem para o referencial da energia potencial, temos:

$E_{M E C A} = E_{M E C B} \Rightarrow$

$E_{c i n A} + E_{p o t A} = E_{c i n B} + E_{p o t B} \Rightarrow$

$0 + m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot {v_{B}}^{2}}{2} + 0 \Rightarrow$

$v_{B} = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} .$

c) Como já sabemos a velocidade no final da rampa, calculada no item (b), podemos determinar as componentes horizontal e vertical da velocidade do carrinho ao se desprender do plano inclinado:

$\{\begin{cases} v_{x} = v_{B} \cdot \cos 45 º \\ v_{y} = v_{B} \cdot sen 45 º \end{cases} \Rightarrow$

$\{\begin{cases} v_{x} = \sqrt{2 g h} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ v_{y} = \sqrt{2 g h} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow$

$v_{x} = v_{y} = \sqrt{g \cdot h} .$

Veja figura abaixo que representa a situação em estudo:

Podemos calcular o tempo de voo usando a função horária da posição em função do tempo na vertical usando o mesmo referencial usado no item (a):

$s = s_{0} + v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2} \Rightarrow$

$0 = 4 h - \sqrt{g h} t_{q u e d a} + \frac{(- g) {t_{q u e d a}}^{2}}{2} \Rightarrow$

$\frac{g {t_{q u e d a}}^{2}}{2} + \sqrt{g h} t_{q u e d a} - 4 h = 0 \Rightarrow$

$g {t_{q u e d a}}^{2} + 2 \sqrt{g h} t_{q u e d a} - 8 h = 0 .$

Resolvendo a equação do segundo grau, temos

$t_{q u e d a} = \frac{- 2 \sqrt{g h} \pm \sqrt{(2 \sqrt{g h})^{2} - 4 \cdot g \cdot (- 8 h)}}{2 g} \Rightarrow$

$t_{q u e d a} = \sqrt{\frac{h}{g}} \cdot (- 1 \pm 3)$ .

Observando que o tempo deve ser positivo, então:

$t_{q u e d a} = 2 \cdot \sqrt{\frac{h}{g}} .$

Sabendo o tempo de voo, determinamos o alcance:

$D = v_{x} \cdot t_{q u e d a} = \sqrt{g h} \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{h}{g}} \Rightarrow$

$D = 2 h \cdot$