Questão 2 Fuvest 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Definição de Pressão Energia Cinética Média das Moléculas (Física)

Um modelo simplificado de uma panela de pressão consiste em um recipiente cilíndrico provido de uma tampa com borda emborrachada que previne a saída de vapor. No centro da tampa, sobre um orifício de área $A$ , repousa uma válvula de massa $m$ que pode se deslocar verticalmente, sem atrito, e que impede que a pressão $P$ interna à panela ultrapasse um valor limite. A pressão atmosférica e a aceleração da gravidade no local de operação da panela são, respectivamente, $P_{0}$ e $g$ .

a) Liste todas as forças que atuam verticalmente sobre a válvula num instante em que ela está em perfeito contato com a tampa da panela.

b) Deseja-se que a panela atinja uma pressão interna de operação não inferior a $2 P_{0}$ . Por outro lado, os materiais de que é feita a panela são capazes de suportar uma pressão interna máxima igual a $3, 5 P_{0}$ , além da qual a panela explode. Qual deve ser a faixa de valores da massa $m$ da válvula para que a panela funcione segundo as especificações?

c) Suponha que a panela, vedada, esteja sobre a chama do fogão e que seu interior esteja completamente ocupado por uma mistura de ar com vapor de água, totalizando $N$ mols de gás que pode ser considerado ideal. Nesse momento, a pressão interna é $P_{1}$ , e a energia cinética média das moléculas no gás é $E_{1}$ . Ao longo de mais algum tempo, com a panela ainda perfeitamente vedada, a chama do fogão transfere energia para o gás e eleva a energia cinética média das moléculas para um valor $E_{2}$ , que é 10% maior do que $E_{1}$ . Determine a razão entre o valor $P_{2}$ da pressão interna nesse instante final e seu valor inicial $P_{1}$ .

Note e adote:
Considere que a área de contato entre a válvula e os seus pontos de apoio na panela é desprezível frente à área

A

Resolução

a) As forças que atuam verticalmente na válvula são seu peso $\vec{P}$ , a força normal $\vec{N}$ de contato entre a válvula e a borda do orifício, a força ${\vec{F}}_{a t m}$ devido à pressão atmosférica atuando sobre a válvula, e a força ${\vec{F}}_{i n t}$ devido à pressão interna do gás dentro da panela atuando sob a válvula, tal como indicado no esquema abaixo. Como a força de contato atua ao longo de toda a borda circular, a indicaremos somente na borda direita da secção mostrada, mas é importante ter em mente que ela não atua somente naquele ponto de contato.

b) Na situação em que a válvula está na iminência de sair do equilíbrio, a força normal entre ela a borda do orifício torna-se nula, portanto,

$P + F_{a t m} = F_{i n t} \Rightarrow m \cdot g + p_{a t m} \cdot A = p_{i n t} \cdot A \Rightarrow m = \frac{A}{g} (p_{i n t} - p_{a t m}) .$

Nas expressões acima, $p_{a t m} = P_{0}$ é a pressão atmosférica e $p_{i n t}$ é a pressão do gás dentro da panela. No caso da menor pressão interna, $p_{i n t} = 2 P_{0}$ , portanto

$m_{1} = \frac{A}{g} (2 P_{0} - P_{0}) \Rightarrow m_{1} = \frac{A}{g} P_{0} .$

No caso da maior pressão interna, $p_{i n t} = 3, 5 P_{0}$ , logo

$m_{2} = \frac{A}{g} (3, 5 P_{0} - P_{0}) \Rightarrow m_{2} = \frac{5}{2} \frac{A}{g} P_{0} .$

Desejamos, então, que a massa da válvula esteja no intervalo $\frac{A}{g} P_{0} \leq m \leq \frac{5}{2} \frac{A}{g} P_{0}$ .

c) A energia cinética média das moléculas em um gás é proporcional à sua temperatura absoluta, $E = a \cdot T$ , em que $a$ é uma constante de proporcionalidade que depende de algumas propriedades do gás, tais como sua estrutura e seus graus de liberdade moleculares. Como $E_{2}$ é 10% maior do que $E_{1}$ ,

$E_{2} = E_{1} + \frac{10}{100} E_{1} = 1, 1 \cdot E_{1} .$

Escrevendo esta relação usando a temperatura absoluta,

$a \cdot T_{2} = 1, 1 a \cdot T_{1} \Rightarrow T_{2} = 1, 1 \cdot T_{1} .$

Na transformação sofrida pelo gás dentro da panela, seu volume se mantém constante e igual ao volume interno da panela. Sendo a transformação isométrica (isovolumétrica), vem que

$\frac{P_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{T_{2}} \Rightarrow \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{1, 1 \cdot T_{1}}{T_{1}} \Rightarrow \frac{P_{2}}{P_{1}} = 1, 1 .$