Questão 4 Fuvest 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Formação de imagem

Uma pessoa de altura $h$ posiciona-se de pé em um quarto vazio, no qual três das quatro paredes são escuras, enquanto a parede restante é um espelho quase perfeito. O quarto é iluminado por uma única lâmpada, aproximadamente esférica e situada a uma altura $2 h$ . A figura 1 mostra uma vista superior, e a figura 2, uma vista lateral do quarto. Na figura 2, $" O "$ indica a posição da pessoa e $" E "$ , a posição do espelho. As dimensões da lâmpada são muito menores que os demais comprimentos relevantes. Nessas condições, são formadas duas sombras da pessoa no piso do quarto. Na folha de resposta, há diagramas nos quais o círculo representa a pessoa e os tons mais claros/escuros indicam uma sombra menos/mais intensa.

a) Dentre os diagramas da folha de respostas, indique aquele que melhor corresponde ao padrão de sombras que, na situação descrita, seria observado na sala.

Imagem do caderno de respostas:

b) Determine os comprimentos das sombras $\bar{A O}$ e $\bar{O B}$ considerando os dados fornecidos.

A intensidade da radiação luminosa é definida como a energia luminosa transportada por unidade de área por unidade de tempo. Para fontes luminosas esféricas pontuais, a intensidade luminosa em um certo ponto deve diminuir com o inverso do quadrado da distância do ponto à fonte luminosa.

c) Desprezando as dimensões da cabeça da pessoa em relação aos demais comprimentos relevantes, tomando $h = D$ e supondo que não haja reflexão relevante da luz em qualquer outra superfície que não a parede espelhada, determine a razão numérica entre a intensidade luminosa no ponto $F$ e aquela no ponto $T$ , localizados na cabeça da pessoa e indicados na figura 2.

Resolução

a) Inicialmente, notemos que a pessoa possui duas sombras, pois tanto a lâmpada quanto a imagem da lâmpada atuam como fontes de luz produzindo uma sombra cada uma. A sombra formada devido à lâmpada será mais intensa uma vez que essa sombra será iluminada pela sua imagem (mais distante); a sombra formada devido à imagem da lâmpada será menos intensa pois será iluminada pela lâmpada de forma direta (mais próxima).

Vamos então tratar a lâmpada e sua imagem como sendo fontes distintas; a imagem da lâmpada será formada a uma distância igual à 2D do espelho, conforme esquema abaixo mostra.

Com isso concluímos que o esquema 2 da folha de resposta é o que melhor indica o padrão de sombras observado.

b) Utilizando a figura mostrada no item (a), podemos obter a imagem a seguir, na qual vemos que os triângulos $A G C$ e $A H O$ são semelhantes entre si, assim como os triângulos $B I E$ e $B H O$ .

De $A G C$ e $A H O$ :

$\frac{\bar{G C}}{\bar{H O}} = \frac{\bar{A C}}{\bar{A O}} \Rightarrow$

$\frac{2 h}{h} = \frac{D + \bar{A O}}{\bar{A O}} \Rightarrow$

$2 \bar{A O} = D + \bar{A O} \Rightarrow$

$\bar{A O} = D .$

De $B I E$ e $B H O$ :

$\frac{\bar{I E}}{\bar{H O}} = \frac{\bar{B E}}{\bar{B O}} \Rightarrow$

$\frac{2 h}{h} = \frac{3 D + \bar{O B}}{\bar{O B}} \Rightarrow$

$2 \bar{O B} = 3 D + \bar{O B} \Rightarrow$

$\bar{O B} = 3 D .$

c) Segundo o enunciado, a intensidade luminosa $I$ diminui com o inverso do quadrado da distância $d$ do ponto à fonte luminosa, ou seja,

$I = \frac{a}{d^{2}},$

em que $a$ é uma constante de proporcionalidade. A fim de determinar a razão pedida entre a intensidade $I_{T}$ da radiação que incide no ponto T e a intensidade $I_{F}$ que incide no ponto F, precisamos determinar a distância $d_{T}$ entre a fonte luminosa em G e o ponto T (que recebe luz direta) e a distância $d_{F}$ entre a imagem I da fonte luminosa e o ponto F (que recebe a luz refletida no espelho plano). A figura abaixo ilustra as relações geométricas entre tais pontos.

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que

${d_{T}}^{2} = h^{2} + h^{2} \Rightarrow {d_{T}}^{2} = 2 h^{2}; {d_{F}}^{2} = h^{2} + {(3 h)}^{2} \Rightarrow {d_{F}}^{2} = 10 h^{2} .$

Desta forma, a razão pedida no enunciado fica escrita da seguinte forma:

$\frac{I_{F}}{I_{T}} = \frac{a / {d_{F}}^{2}}{a / {d_{T}}^{2}} = \frac{{d_{T}}^{2}}{{d_{F}}^{2}} \Rightarrow \frac{I_{F}}{I_{T}} = \frac{2 h^{2}}{10 h^{2}} \Rightarrow \frac{I_{F}}{I_{T}} = \frac{1}{5} .$

Repare que este resultado mostra que a intensidade da luz vinda diretamente da fonte é maior do que a intensidade da luz refletida pelo espelho na proximidade da pessoa, o que reforça o argumento apresentado no item (a) que afirma que a sombra iluminada diretamente pela fonte possui menor intensidade do que a sombra iluminada indiretamente.

Observação: a constante de proporcionalidade mencionada acima é $a = P o t / 4 π$ , em que $P o t$ é a potência radiante da fonte luminosa e $4 π$ é o ângulo sólido total em seu redor, considerando uma emissão de luz isotrópica e constante.