Questão 17 Unifesp 2021 - 2ª fase - Bioexatas - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 17

Área do Triangulo Circunferência G.A.

Em um plano cartesiano de origem $A = (0, 0)$ foram desenhados os quadrados $ABCD$ , $DEFG$ e $HIJD$ . Sabe-se que $B = (0, 5)$ , $G = (8, 0)$ , $H$ pertence ao eixo das abscissas, $J$ está na intersecção de $\bar{BG}$ com $\bar{CD}$ e $λ$ é uma circunferência que passa por $B$ , $C$ e $G$ , como mostra a figura.

a) Determine as áreas dos triângulos $CEF$ e $JIB$ , em unidades de área do plano cartesiano.

b) Determine as coordenadas do centro de $λ$ e seu raio.

Resolução

Pelas informações dadas no enunciado, tem-se que $B = (0, 5)$ . Logo, o lado do quadrado $A B C D$ é 5. Além disso, como o ponto $G$ possui coordenadas $(8, 0)$ , então, a medida do lado do quadrado $E F G D$ é 3. Definindo como $x$ a medida do lado do quadrado $H I J D$ , obtemos a seguinte figura:

a) Área do triângulo $C E F$ :

Como $m (C \hat{E} F) = 90 °$ , o triângulo é retângulo de catetos medindo $C E = 5 - 3 = 2$ e $E F = 3$ .

$A_{C E F} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 u . a . \Leftrightarrow A_{C E F} = 3 u . a .$

Lado do quadrado $H I J D$ :

Tem-se que os triângulos $J D G$ e $B A G$ são semelhantes, então:

$\frac{J D}{B A} = \frac{D G}{A G} \Rightarrow \frac{x}{5} = \frac{3}{8} \Rightarrow x = \frac{15}{8}$

Área do triângulo $J I B$ :

Como a altura do triângulo $J I B$ é a diferença entre os lados dos quadrados $A B C D$ e $H I J D$ , então sua área é dada por:

$A_{J I B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{8} \cdot (5 - \frac{15}{8}) \Leftrightarrow A_{J I B} = \frac{375}{128} u . a .$

b) O centro da circunferência é a intersecção entre as mediatrizes de duas de suas cordas.

A mediatriz da corda $B C$ é a reta perpendicular ao segmento $B C$ e que passa pelo seu ponto médio:

$P M_{B C} = (\frac{5 - 0}{2}; \frac{5 + 5}{2}) = (\frac{5}{2}; 5)$ . Como $B C$ é paralelo ao eixo x, então a mediatriz é paralela ao eixo y. Logo, esta possui equação:

$x = \frac{5}{2}$

Para definir a mediatriz da corda $B G$ , vamos admitir o ponto genérico $P = (x, y)$ . Temos que o lugar geométrico da mediatriz é o conjunto de pontos equidistantes de $B$ e de $G$ . Logo:

$d_{B P} = d_{G P}$

$d_{B P}^{2} = d_{G P}^{2}$

$x^{2} + {(y - 5)}^{2} = {(x - 8)}^{2} + y^{2}$

$x^{2} + y^{2} - 10 y + 25 = x^{2} - 16 x + 64 + y^{2}$

$16 x - 10 y = 39$

Assim, $x = \frac{5}{2} \Rightarrow 16 \cdot \frac{5}{2} - 10 y = 39 \Rightarrow - 10 y = - 1 \Rightarrow y = \frac{1}{10}$ .

Portanto, as coordenadas do centro da circunferência são $P = (\frac{5}{2}; \frac{1}{10})$ .

Já o raio $R$ da circunferência é

$R = \sqrt{{(0 - \frac{5}{2})}^{2} + {(5 - \frac{1}{10})}^{2}} \Leftrightarrow$

$R = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{49}{10})}^{2}} = \sqrt{\frac{625 + 2.401}{100}} \Leftrightarrow$

$R = \frac{\sqrt{3.026}}{10}$