Questão 18 Unifesp 2021 - 2ª fase - Bioexatas - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 18

Polígonos Regulares

A figura indica uma sequência de polígonos regulares com número $n$ par de lados, cada um medindo $2 cm$ . Cada polígono tem um lado sobre a reta $r$ e o lado oposto sobre uma reta paralela a $r$ . Estas retas paralelas a $r$ estão indicadas por $t_{1}, t_{2}, t_{3}, . . .$ .

a) Calcule a distância entre as retas $t_{1}$ e $t_{2}$ .

b) Mantendo-se o padrão da sequência, calcule a distância entre as retas $t_{23}$ e $t_{24}$ em função de letras convenientemente selecionadas da tabela.

Resolução

a) Tem-se que a altura $t_{1}$ é equivalente ao lado do quadrado, logo, $t_{1} = 2 cm$ .

A altura $t_{2}$ é a distância entre dois lados paralelos de um hexágono:

Temos que $t_{2}$ é o cateto oposto ao ângulo de 60° do triângulo que tem como cateto adjacente a esse ângulo de medida $2 cm$ , logo:

$tg 60 ° = \frac{t_{2}}{2} \Leftrightarrow \sqrt{3} = \frac{t_{2}}{2} \Leftrightarrow t_{2} = 2 \sqrt{3} cm$

Logo, $t_{2} - t_{1} = 2 \sqrt{3} - 2 = 2 (\sqrt{3} - 1) cm$ .

b) Primeiramente vamos analisar a relação entre $t_{i}$ com o número de lados do polígono:

$t_{i}$	$n$
$t_{1}$	$n = 2 \cdot 2 = 4$
$t_{2}$	$n = 3 \cdot 2 = 6$
$t_{3}$	$n = 4 \cdot 2 = 8$
$. . .$	$. . .$
$t_{k}$	$n = (k + 1) \cdot 2 = 2 k + 2$

Logo, para a distância $t_{23}$ teremos $n = (23 + 1) \cdot 2 = 48$ e para a distância $t_{24}$ teremos $n = (24 + 1) \cdot 2 = 50$ .

A medida $t_{k}$ é o dobro da altura do triângulo formado pelo centro do polígono e por um lado qualquer do polígono regular, admitindo como $θ$ o ângulo central desse polígono, teremos a seguinte figura:

Como $θ = \frac{360 °}{n}$ , então, aplicando tangente no triângulo retângulo:

$tg \frac{θ}{2} = \frac{1}{\frac{t_{k}}{2}} \Rightarrow t_{k} = \frac{2}{tg \frac{θ}{2}}$ .

Se $k = 23 \Rightarrow θ = \frac{360 °}{48} = 7, 5 °$ , então:

$t_{23} = \frac{2}{tg \frac{7, 5 °}{2}} = \frac{2}{tg 3, 75 °} = \frac{2}{x}$ , pela tabela $tg 3, 75 ° = x$ .

Se $k = 24 \Rightarrow θ = \frac{360 °}{50} = 7, 2 °$ , então:

$t_{24} = \frac{2}{tg \frac{7, 2 °}{2}} = \frac{2}{tg 3, 6 °} = \frac{2}{t}$ , pela tabela $tg 3, 6 ° = t$ .

Portanto, $t_{24} - t_{23} = \frac{2}{t} - \frac{2}{x} = \frac{2 (x - t)}{t \cdot x}$