Questão 20 Unifesp 2021 - 2ª fase - Bioexatas - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 20

Probabilidade Análise Combinatória

Uma caixa possui $n$ cartas, numeradas de 1 até $n$ . Desta caixa são sorteadas, ao acaso, $m$ cartas.

a) Para $n = 10$ e $m = 6$ , qual é a probabilidade de que entre as cartas sorteadas tenha saído uma com o número 1?

b) Estabeleça uma fórmula que calcule a probabilidade de que, entre as $m$ cartas sorteadas do total de $n$ cartas, tenham saído $k$ cartas pré-estabelecidas, com $k$ variando de 1 até $m$ . Apresente sua fórmula com notação de fatorial, simplificada ao máximo, e com o domínio de validade de $n$ , $m$ e $k$ .

Resolução

a) Dados $n = 10$ e $m = 6$ , vamos primeiramente contar de quantas maneiras podemos escolher 6 cartas sendo uma delas o número $1$ . Fixamos o número $1$ no conjunto e escolhemos as outras 5 cartas dentre as 9 restantes. Temos

$C_{9, 5} = \frac{9!}{5! \cdot (9 - 5)!} = 126 possibilidades$

Por outro lado, o total de maneiras de se retirar 6 cartas no conjunto de 10 cartas é dado por

$C_{10, 6} = \frac{10!}{6! \cdot (10 - 6)!} = 210$

Portanto, como todas as possibilidades de retiradas de conjuntos com 6 cartas possuem a mesma probabilidade, a probabilidade de se retirar a carta com o número $1$ em um conjunto com 6 cartas é

$P = \frac{126}{210} = \frac{3}{5}$

b) Fixados $1 \leq k \leq m \leq n$ , para calcular a probabilidade de se retirar as $k$ cartas pré-estabelecidas dentre as $m$ cartas retiradas, procedemos de maneira análoga ao item a). Calculamos de quantas maneiras podemos retirar um conjunto de $m$ cartas contendo as $k$ cartas pré-estabelecidas e dividimos esse valor pelo total de possibilidades de se retirar $m$ cartas dentre as $n$ cartas.

Uma vez escolhidas as $k$ cartas pré-estabelecidas para o conjunto, resta escolher $m - k$ cartas dentre as $n - k$ cartas disponíveis. Assim, o total de possibilidades para realizar essa escolha é

$C_{n - k, m - k} = \frac{(n - k)!}{(m - k)! \cdot ((n - k) - (m - k))!} = \frac{(n - k)!}{(m - k)! \cdot (n - m)!}$

Já o total de possibilidades de retirar $m$ cartas dentre as $n$ cartas é

$C_{n, m} = \frac{n!}{m! \cdot (n - m)!}$

Portanto, para $n, m, k \in ℕ$ com $1 \leq k \leq m \leq n$ , a probabilidade de que dentre as $m$ cartas sorteadas sejam retiradas as $k$ cartas pré-estabelecidas é

$\frac{C_{n - k, m - k}}{C_{n, m}} = \frac{\frac{(n - k)!}{(m - k)! \cdot (n - m)!}}{\frac{n!}{m! \cdot (n - m)!}} = \frac{(n - k)! \cdot m!}{(m - k)! \cdot n!}$