Questão 120 Enem 2020 - dia 2 - Ciências da natureza e suas tecnologias

A pressão que cada uma das torres exerce corresponde a razão entre os módulo da força peso de cada torre (M·g) e a respectiva área da base (A) de cada torre.

Assim, a razão entre as pressões das torres será dada por:

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}{{\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}} = \frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{${\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{torre}\right)} · \bcancel{\mathrm{g}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\mathrm{A}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}$}\right.}}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{${\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)} · \bcancel{\mathrm{g}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\mathrm{A}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}$}\right.}} \Rightarrow \\ \frac{{\displaystyle {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}}{{\displaystyle {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}}} = \frac{{\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}{{\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}} · \frac{{\mathrm{A}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}}{{\mathrm{A}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}} \end{gathered}$$

i) Razão entre as massas: o material utilizado no protótipo será o mesmo da torre Eifel, de maneira que as densidades das duas torres serão iguais. 

$$\begin{gathered} {\mathrm{d}}_{\left(\mathrm{torre}\right)} = {\mathrm{d}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)} \Rightarrow \\ \frac{{\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}{{\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}} = \frac{{\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}}{{\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}} \Rightarrow \\ \frac{{\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}{{\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}} = \frac{{\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}{{\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}} \end{gathered}$$

A razão entre as massas é igual à razão entre os volumes. Genericamente, o volume é o produto das três dimensões: comprimento x largura x altura. Para a torre, o valor de cada dimensão é 100 (10²) vezes maior do que a dimensão correspondente do modelo. Assim:

$$\begin{gathered} {\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{torre}\right)} = {\mathrm{Comprimento}}_{\left(\mathrm{torre}\right)} · {\mathrm{Altura}}_{\left(\mathrm{torre}\right)} · {\mathrm{Largura}}_{\left(\mathrm{torre}\right)} \Rightarrow \\ {\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{torre}\right)} = {10}^2·{\mathrm{Comprimento}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)} · {10}^2·{\mathrm{Altura}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)} · {10}^2·{\mathrm{Largura}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)} \Rightarrow \\ {\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{torre}\right)} = {10}^6 · {\mathrm{Comprimento}}_{(\mathrm{modelo}} · {\mathrm{Altura}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)} · {\mathrm{Largura}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)} \Rightarrow \\ {\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{torre}\right)} = {10}^6 · {\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)} \Rightarrow \\ \frac{{\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}{{\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}} = {10}^6 \end{gathered}$$

Portanto, a razão entre as massas será dada por:

$\frac{{\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}{{\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}} = \frac{{\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}{{\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}} = {10}^6$

ii) Razão entre as áreas da base: como visto acima, as dimensões da Torre Eiffel correspondem a 100 vezes as dimensões correspondentes do modelo. Assim, da mesma maneira que feito acima, a relação entre as áreas será:

$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}_{\left(\mathrm{torre}\right)} = {10}^4 · {\mathrm{A}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)} \Rightarrow \\ \frac{{\mathrm{A}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}}{{\mathrm{A}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}} = {10}^{-4} \end{gathered}$$

Agora podemos voltar a expressão para a razão entre as pressões:

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}}{{\displaystyle {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}}} = \frac{{\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}{{\mathrm{M}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}} · \frac{{\mathrm{A}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}}{{\mathrm{A}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}} \Rightarrow \\ \frac{{\displaystyle {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}}{{\displaystyle {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}}} = {10}^6 · {10}^{-4} \Rightarrow \\ \boxed{\frac{{\displaystyle {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{torre}\right)}}}{{\displaystyle {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{modelo}\right)}}} = {10}^2} \end{gathered}$$