Questão 124 Enem 2020 - dia 2 - Ciências da natureza e suas tecnologias

Questão 124

Tubos Fechados

Dois engenheiros estão verificando se uma cavidade perfurada no solo está de acordo com o planejamento de uma obra, cuja profundidade requerida é de 30 m. O teste é feito por um dispositivo denominado oscilador de áudio de frequência variável, que permite relacionar a profundidade com os valores da frequência de duas ressonâncias consecutivas, assim como em um tubo sonoro fechado. A menor frequência de ressonância que o aparelho mediu foi 135 Hz. Considere que a velocidade do som dentro da cavidade perfurada é de $360 m s^{- 1}$ .

Se a profundidade estiver de acordo com o projeto, qual será o valor da próxima frequência de ressonância que será medida?

a)	137 Hz.
b)	138 Hz.
c)	141 Hz.
d)	144 Hz.
e)	159 Hz.

Resolução

A cavidade perfurada no solo constitui um tubo sonoro aberto em uma extremidade (superior) e fechado na outra (inferior). Em tais tubos sonoros, o harmônico fundamental, cuja forma está ilustrada na figura abaixo, possui frequência

$f_{0} = \frac{v}{4 L},$

em que $v = 360 m / s$ é a velocidade do som no ambiente e $L = 30 m$ é o comprimento do tubo:

$f_{0} = \frac{360 m / s}{4 \cdot 30 m} = 3 s^{- 1} = 3 Hz .$

Em tubos sonoros abertos, as frequências dos harmônicos sucessivos aumentam pelo dobro da frequência do harmônico fundamental, uma vez que só há os harmônicos ímpares:

$\begin{matrix} n = 1 : & f_{1} = 1 \cdot f_{0} = 3 \cdot 1 = 3 Hz \\ n = 3 : & f_{3} = 3 \cdot f_{0} = 3 \cdot 3 = 9 Hz \\ n = 5 : & f_{5} = 5 \cdot f_{0} = 5 \cdot 3 = 15 Hz \\ n = 7 : & f_{7} = 7 \cdot f_{0} = 7 \cdot 3 = 21 Hz . \end{matrix}$

Como as frequências dos harmônicos sucessivos para o tubo descrito no enunciado aumentam de $6 Hz$ , o próximo harmônico após o de $135 Hz$ será o de frequência $141 Hz$ . Pode ser verificado que ele corresponde ao harmônico

$f_{n} = n \cdot f_{0} \Rightarrow 141 = n \cdot 3 \Rightarrow n = 47 .$