Questão 156 Enem 2020 - dia 2 - Ciências da natureza e suas tecnologias

Questão 156

Princípio Fundamental da Contagem

Amigo secreto é uma brincadeira tradicional nas festas de fim de ano. Um grupo de amigos se reúne e cada um deles sorteia o nome da pessoa que irá presentear. No dia da troca de presentes, uma primeira pessoa presenteia seu amigo secreto. Em seguida, o presenteado revela seu amigo secreto e o presenteia. A brincadeira continua até que todos sejam presenteados, mesmo no caso em que o ciclo se fecha. Dez funcionários de uma empresa, entre eles um casal, participaram de um amigo secreto. A primeira pessoa a revelar será definida por sorteio.
Qual é a probabilidade de que a primeira pessoa a revelar o seu amigo secreto e a última presenteada sejam as duas pessoas do casal?

a)	$\frac{1}{5}$
b)	$\frac{1}{45}$
c)	$\frac{1}{50}$
d)	$\frac{1}{90}$
e)	$\frac{1}{100}$

Resolução Sugerimos anulação

Assumindo que:

o enunciado pretendia dizer que o sorteio do amigo secreto propriamente dito já tenha sido realizado, já estando certo que a brincadeira é compatível (isto é, cada pessoa não tenha sorteado a si mesma) e
quando o ciclo se fecha, a próxima pessoa a entregar o presente é definida por sorteio,

vamos analisar apenas as possibilidades de revelação e entrega dos presentes.

Entrega do primeiro presente:

A probabilidade de a primeira pessoa a revelar o seu amigo secreto ser um membro do casal é:

$P_{1} = \frac{2}{10}$ .

Isso porque há 2 membros do casal entre 10 participantes do amigo secreto.

Para que o último presenteado seja o outro membro do casal, o primeiro amigo secreto revelado não pode ser este outro membro do casal. O primeiro membro do casal possuía chances iguais de ter sorteado para presentear qualquer um dos outros 9 participantes [assumindo que este é um amigo secreto comum, em que a pessoa não pode presentear a si própria, embora esta informação não esteja no enunciado], porém, para que as condições do problema sejam satisfeitas, seu amigo secreto deve ser um dos 8 participantes que não são membros do casal:

$P_{2} = \frac{8}{9}$ .

A partir deste ponto, temos dois caminhos de solução.

Solução 1:

Após a entrega do primeiro presente, ainda há 9 pessoas que não foram presenteadas e, por se tratar de evento totalmente aleatório, todas possuem a mesma probabilidade de serem a última presenteada. Porém, para satisfazer as condições do problema, a última pessoa presenteada deve ser o outro membro do casal (1 evento favorável). A probabilidade de isso ocorrer é:

$P_{3} = \frac{1}{9}$

Assim, a probabilidade de a primeira pessoa a revelar o seu amigo secreto ser um membro do casal E a última pessoa presenteada ser o outro membro é:

$P = P_{1} \cdot P_{2} \cdot P_{3} \Leftrightarrow$

$P = \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{9} \Leftrightarrow P = \frac{8}{405}$

Sendo assim, a questão não possui alternativas corretas.

Solução 2:

Entrega do segundo presente:

Após a entrega do primeiro presente, a pessoa sorteada possui 9 possíveis presenteados: ela somente não pode presentear a si mesma, conforme as regras do amigo secreto. Note que o membro do casal que iniciou as entregas ainda não recebeu o presente, assim como todos os demais participantes do amigo secreto, exceto a pessoa que entregará o presente. Desses 9 presenteados possíveis, 8 representam eventos favoráveis, pois o outro membro do casal não pode receber o presente, uma vez que deve ser o último presenteado, assim:

$P'_{3} = \frac{8}{9}$

Entrega do terceiro presente:

Após a entrega do segundo presente, temos duas possibilidades, para que as condições do problema sejam satisfeitas:

ou a segunda pessoa a presentear tirou o membro do casal que iniciou as entregas, formando um ciclo e, neste caso, a próxima pessoa (a terceira a presentear) teria que ser determinada entre as 8 pessoas restantes por sorteio. Neste sorteio, temos 8 possibilidades que satisfazem as condições do problema: todos podem ser sorteados, inclusive o membro do casal que ainda não presenteou, pois a restrição do problema é que ele deve ser a última pessoa a receber o presente, mas não há restrições quanto à posição em que este outro membro do casal entrega o presente e o sorteio seria para determinar a próxima pessoa a entregar o presente. Após o sorteio, a pessoa sorteada deve entregar o seu presente e há duas possibilidades a considerar:

1. a pessoa sorteada é o segundo membro do casal. A probabilidade de isto ocorrer é $\frac{1}{8}$ e ela poderá presentear qualquer um dos outros 7 ainda não sorteados, sem ferir as restrições do problema:

$P' = \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{7} = \frac{1}{8}$

2. a pessoa sorteada não é um membro do casal. Como há 7 participantes que não são membros do casal E ainda não entregaram presentes dentre os 8 participantes do sorteio, a probabilidade de isto ocorrer é $\frac{7}{8}$ e esta pessoa não poderá presentear a si própria, logo possui 7 pessoas que pode presentear. Para atender as restrições do problema, essa pessoa não poderá presentear o membro do casal, logo terá 6 pessoas favoráveis a presentear. A probabilidade de isto ocorrer é:

$P " = \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{8}$

Deste modo, a probabilidade de um evento favorável ao se formar o ciclo é:

$P_{4} = P' + P " = \frac{7}{8}$

ou a segunda pessoa a presentear tirou uma das 7 pessoas restantes que não são membros do casal: note que restam somente 7 possibilidades favoráveis de pessoas a receber o presente, dentre os 8 possíveis, pois:
- a pessoa que entregará o presente não poderá presentear a si própria e estamos considerando a hipótese em que o membro do casal que iniciou as entregas não será a pessoa a receber o presente, havendo portanto 8 possibilidades de entrega do presente;
- a entrega do presente ao outro membro do casal não satisfaz as condições do problema, uma vez que ele deve ser o último a receber o presente, restando 7 possibilidades favoráveis de entrega do presente.

$P'_{4} = \frac{7}{8}$

Note que, em qualquer uma das possibilidades, a probabilidade de as condições do problema serem satisfeitas é a mesma: havia 8 pessoas que poderiam receber o presente, e a probabilidade de um evento favorável, fechando o ciclo ou não, é $P_{4} = P'_{4} = \frac{7}{8}$ . Analogamente, para todas as entregas em que ainda há $n$ participantes que não receberam o presente (eventos possíveis), a probabilidade $P_{x}$ de a pessoa a receber o presente não ser o membro do casal que não iniciou a entrega é:

$P_{x} = \frac{n - 1}{n}$ , onde $n$ é o número de participantes ainda não presenteados.

Assim, considerando todas as entregas seguintes, até a penúltima, temos que a probabilidade conjunta de resultados favoráveis é:

$P_{5} = \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Logo, a probabilidade de um membro do casal ser o primeiro a entregar o presente E o outro membro do casal ser o último é:

$P = P_{1} \cdot P_{2} \cdot P'_{3} \cdot P_{4} \cdot P_{5} \Leftrightarrow$

$P = \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow$

$P = \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{9} \Leftrightarrow$

$P = \frac{8}{405}$

Sendo assim, a questão não possui alternativas corretas.

Observação: Supondo que a questão pretendia perguntar sobre a probabilidade de que a primeira pessoa e a última pessoa a revelarem o seu amigo secreto sejam as duas pessoas do casal.

Resolução 1:

Podemos pensar na ordem em que as pessoas revelam seus respectivos amigos secretos como sendo uma fila em que a primeira pessoa a revelar o seu amigo secreto é a primeira pessoa da fila, a pessoa revelada por esta é a segunda pessoa da fila, o amigo secreto da segunda pessoa é o terceiro da fila e assim sucessivamente, até o décimo funcionário (caso não haja ciclos).

No total, há 10 possibilidades para a primeira pessoa, que será sorteada. Como ela não pode tirar a si mesma, há outras 9 opções para a segunda pessoa da fila (o amigo secreto da primeira).

Para compor o terceiro lugar da fila, temos duas possibilidades:

ou a segunda pessoa tirou a primeira, formando um ciclo e, neste caso, a terceira pessoa teria que ser determinada entre as 8 pessoas restantes por algum sorteio.
ou a segunda pessoa não a tirou e nem a primeira pessoa, restando ao terceiro lugar da fila, 8 possibilidades.

Em qualquer uma das possibilidades, o terceiro lugar da fila pode ser ocupado por 8 pessoas (assumindo que, no caso em que ocorra algum ciclo, outro se inicie de maneira aleatória).

Um fenômeno análogo ocorre para determinar o número de possibilidades para qualquer outro lugar da fila. Logo, para a quarta pessoa da fila temos 7 possibilidades e assim por diante até o último lugar da fila, que será, certamente, ocupado pela única pessoa que ainda não foi presenteada.

Desta forma, temos

$10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 10!$

maneiras de formar a fila.

No entanto, o enunciado pede a situação em que a primeira e a última pessoa dessa fila sejam uma das pessoas do casal. Nesta situação temos apenas duas possibilidades para a primeira pessoa da fila (qualquer uma do casal) e apenas uma possibilidade para a última pessoa da fila (a que não foi primeiro), as posições restantes podem ser preenchidas, sem restrições, pelos outros 8 funcionários. Sendo assim, temos

$2 8 7 6 5 4 3 2 1 1 = 2 \cdot 8!$

maneiras de formar a fila de acordo com as exigências do enunciado.

Uma vez que a probabilidade de ocorrência de um evento aleatório é dada pelo quociente entre o número de possibilidades favoráveis e as possibilidades totais, temos:

$P = \frac{2 \cdot 8!}{10!} = \frac{2 \cdot 8!}{10 \cdot 9 \cdot 8!} = \frac{1}{45}$

Resolução 2:

Podemos também analisar as possibilidades apenas para o primeiro lugar da fila, em que temos 2 pessoas sorteadas favoráveis (qualquer uma das duas pessoas do casal) dentre 10 pessoas possíveis (os 10 funcionários da empresa). Uma vez que um dos membros do casal tenha sido sorteado para o primeiro lugar da fila, para o último lugar, resta um evento favorável (o sorteio do outro membro do casal) de 9 eventos possíveis (os 9 funcionários que não foram sorteados para o primeiro lugar da fila). Como a probabilidade de cada um dos 9 participantes ser o último é idêntica, pois todas as probabilidades são iguais (a probabilidade de A ter tirado B é idêntica à probabilidade de A ter tirado C, assim como a probabilidade de B ter tirado C e assim por diante, para todos os não presenteados até o momento), assim:

$P = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{45}$