Questão 157 Enem 2020 - dia 2 - Ciências da natureza e suas tecnologias

Questão 157

Permutação Simples e com Reptição Combinação simples

Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.

André deseja deslocar-se de sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( $\to$ ) ou para cima ( $↑$ ), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

a)	4.
b)	14.
c)	17.
d)	35.
e)	48.

Resolução

Para André se descolar da sua casa para a casa de Carlos, obrigatoriamente deve se deslocar 3 vezes para cima e 4 vezes pra direita, como ilustra a figura:

O total de caminhos possível de A para B equivale ao total de permutações desses 7 movimentos, 3 para cima e 4 para a direita, ou seja:

$P_{7}^{3, 4} = \frac{7!}{3! 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! 4!} = 35$

Como André não deseja passar pela casa de Carlos, vamos subtrair do total as possibilidades de caminhos pelo ponto C.

De A para C, André tem que se deslocar obrigatoriamente 2 vezes para cima e 2 vezes para a direita, enquanto de C para B são 2 vezes para a direita e 1 para cima, como ilustra a figura:

Logo,

$\underset{A p a r a C}{\underset{⏟}{P_{4}^{2, 2}}} \cdot \underset{C p a r a B}{\underset{⏟}{P_{3}^{2}}} = \frac{4!}{2! 2!} \cdot \frac{3!}{2!} = 6 \cdot 3 = 18$

Portanto, o total de passibilidades de André ir até a casa de Bernardo sem passar pela casa de Carlos é $35 - 18 = 17$ .