Questão 11 Fuvest 2021 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 11

Função Afim Função Quadrática

Se $f : ℝ \to ℝ$ e $g : ℝ \to ℝ$ são funções dadas por $f (x) = c + x^{2}$ , onde $c \in ℝ$ , e $g (x) = x$ , seus gráficos se intersectam quando, e somente quando,

a)	$c \leq \frac{1}{4} .$
b)	$c \geq \frac{1}{4} .$
c)	$c \leq \frac{1}{2} .$
d)	$c \geq \frac{1}{2} .$
e)	$c \leq 1 .$

Resolução

Os gráficos das funções $f$ e $g$ terão pelo menos um ponto em comum se a igualdade $f (x) = g (x)$ for satisfeita por algum valor de $x$ , ou seja, se a equação $f (x) = g (x)$ tiver pelo menos uma solução. Impondo a igualdade, vem que:

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow c + x^{2} = x \Leftrightarrow x^{2} - x + c = 0$

Para que a equação do segundo grau $x^{2} - x + c = 0$ tenha pelo menos uma solução, seu discriminante ( $∆$ ) não pode ser negativo. Assim:

$∆ ⩾ 0 \Leftrightarrow {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c ⩾ 0 \Leftrightarrow c ⩽ \frac{1}{4}$