Questão 12 Fuvest 2021 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 12

Casos de Semelhança em Triângulos

Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 12 cm e 35 cm. A partir desta peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma que um dos ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo. A medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de

a)	8,0 cm.
b)	8,5 cm.
c)	9,0 cm.
d)	9,5 cm.
e)	10,0 cm.

Resolução

O maior quadrado que pode ser obtido nas condições do problema é o quadrado inscrito no triângulo retângulo, como ilustrado na figura a seguir, em que $A C = 12 cm$ e $A B = 35 cm$ :

Seja $x$ a medida dos lados desse quadrado. Observe que os triângulos $A B C$ e $F E C$ têm ambos um ângulo reto, e também têm $A \hat{C} B$ como ângulo em comum. Assim, pelo critério Ângulo-Ângulo, tais triângulos são semelhantes. Segue que:

$\frac{A B}{F E} = \frac{A C}{F C} \Leftrightarrow \frac{35}{x} = \frac{12}{12 - x} \Leftrightarrow 35 \cdot 12 - 35 x = 12 x \Leftrightarrow x = \frac{420}{47} cm \approx 8, 9 cm$

Dentre as alternativas propostas, tal medida está mais próxma de 9,0 cm.