Questão 47 Fuvest 2021 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 47

Período no MHS Pêndulo Simples

Os smartphones modernos vêm equipados com um acelerômetro, dispositivo que mede acelerações a que o aparelho está submetido.
O gráfico foi gerado a partir de dados extraídos por um aplicativo do acelerômetro de um smartphone pendurado por um fio e colocado para oscilar sob a ação da gravidade, o gráfico mostra os dados de uma das componentes da aceleração (corrigidos por um valor de referência constante) em função do tempo.

Com base nos dados do gráfico e considerando que o movimento do smartphone seja o de um pêndulo simples a ângulos pequenos, 0 comprimento do fio é de aproximadamente:

Note e adote:
Use

π = 3

.
Aceleração da gravidade:

g = 10 m / s^{2}

a)	5 cm
b)	10 cm
c)	50 cm
d)	100 cm
e)	150 cm

Resolução

A partir do gráfico fornecido pela questão podemos determinar o período do movimento do smartphone. Para isto, vamos escolher um intervalo de tempo adequado e dividir pelo número de oscilações realizados pelo pêndulo neste intervalo:

Na imagem acima, escolhemos dois pontos que correspondam a um pico da onda definida pelo gráfico, definindo um intervalo de tempo de 7 segundos. O número de oscilações completas corresponde ao número de intervalos entre picos do período considerado, conforme imagem abaixo:

Assim, temos 5 oscilações num intervalo de tempo de 7 segundos. Podemos encontrar uma boa aproximação para o período $T$ do movimento pode ser encontrada fazendo a razão entre o intervalo de tempo (7 s) e o número de oscilações (5) realizadas neste intervalo:

$T = \frac{7}{5} \Rightarrow T = 1, 4 s$ .

Conforme o enunciado afirma, o movimento do smartphone pode ser aproximado para o movimento de um pêndulo simples a ângulos pequenos e, neste caso, podemos escrever o período em termos do comprimento $L$ do fio e da aceleração da gravidade $g$ como:

$T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{L}{g}}$ .

Usando a aproximação de que $π$ = 3 teremos:

$T = 6 \cdot \sqrt{\frac{L}{g}} \Rightarrow L = g \cdot \frac{T^{2}}{36}$ .

Substituindos valores de $g$ e $T$ :

$L = 10 \cdot \frac{1, 96}{36} \Rightarrow L ≅ 0, 54 m .$

Convertendo o valor encontrado para centímetros, teremos:

$L ≅ 54 cm .$

A alternativa mais próxima do valor encontrado é a letra C, 50 cm.

Nota: caso se tenha utilizado outros valores para o período do movimento do smartphone, como o valor aproximado de 1,5 s, teríamos:

$L = 10 \cdot \frac{2, 25}{36} \Rightarrow L ≅ 0, 63 m$ .

Convertendo para centímetros:

$L ≅ 63 cm$ .

Mesmo assim, o valor mais próximo deste resultado ainda corresponde à alternativa correta, ou seja, a letra C (50 cm). Portanto, seria possível chegar na alternativa correta utilizando outros valores para o período $T$ do smartphone sem correr o risco de se chegar a outra auternativa.