Questão 49 Fuvest 2021 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 49

Ondas estacionárias em cordas Equação de Taylor e velocidade da onda em uma corda

Ondas estacionárias podem ser produzidas de diferentes formas, dentre elas esticando-se uma corda homogénea, fixa em dois pontos separados por uma distância L, e pondo-a a vibrar, A extremidade à direita é acoplada a um gerador de frequências, enquanto a outra extremidade está sujeita a uma força tensional produzida ao se pendurar à corda um objeto de massa $m_{0}$ mantido em repouso, O arranjo experimental é ilustrado na figura. Ajustando a frequência do gerador para $f_{1}$ obtém-se na corda uma onda estacionária que vibra em seu primeiro harmónico.

Ao trocarmos o objeto pendurado por outro de massa M, observa- se que a frequência do gerador para que a corda continue a vibrar no primeiro harmônico deve ser ajustada para $2 f_{1}$ , Com isso, é correto concluir que a razão $M / m_{0}$ deve ser:

Note e adote:
A velocidade da onda propagando-se em uma corda é diretamente proporcional à raiz quadrada da tensão sob a qual a corda está submetida.

a)	1/4
b)	1/2
c)	1
d)	2
e)	4

Resolução

A frequência de vibração inicial $f_{1}$ pode ser escrita, a partir da equação fundamenta da ondulatória como:

$f_{1} = \frac{v_{1}}{λ_{1}}$ .

A corda vibra no modo fundamental e, portanto, o comprimento de onda $λ_{1}$ corresponde ao dobro do comprimento da corda ( $λ_{1} = 2 L$ ). Além disto, a velocidade da onda na corda será dada pela fórmula de Taylor (raíz quadada da razão entre a tensão aplicada na corda e a densidade linear da corda). Assim:

$f_{1} = \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T_{1}}{μ}} (1)$ .

Da mesma maneira, na segunda situação - com a massa $M$ suspensa pela polia - a frequência $f_{2}$ é será dada por:

$f_{2} = \frac{v_{2}}{λ_{2}}$ .

A corda também vibra na frequência fundamental nesta situação, de maneira que o comprimento de onda $λ_{2}$ também será o dobro do comprimento L da corda ( $λ_{2} = 2 L$ ) e a velocidade de propagação da onda $v_{2}$ será dada, novamente, pelo fórmula de Taylor:

$f_{2} = \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T_{2}}{μ}} (2)$ .

Conforme o enunciado, temos f₂ = 2·f₁ e. usando as expressões (1) e (2) temos:

$\begin{array}{rcl} f_{2} & = & 2 \cdot f_{1} \Rightarrow \\ \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T_{2}}{μ}} & = & 2 \cdot \frac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\frac{T_{1}}{μ} \Rightarrow} \\ \sqrt{T_{2}} & = & 2 \cdot \sqrt{T_{1}} . \end{array}$

As trações têm mesmo módulo que o peso da carga suspensa pela corda em cada caso. Assim:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{M \cdot g} & = & 2 \cdot \sqrt{m_{0} \cdot g} \Rightarrow \\ M \cdot g & = & 4 \cdot m_{0} \cdot g \Rightarrow \\ \frac{M}{m_{0}} = 4 . \end{array}$

Portanto, alternativa E.