Questão 41 Unicamp 2021 - 1ª fase - 2º dia

Do enunciado:

$2\cos \left(2\theta \right)+5\cos \left(\theta \right)=4$

Lembrando das fórmulas de Arco Duplo, consideramos a seguinte identidade:

$\cos \left(2\theta \right)=2{\cos }^2\left(\theta \right)-1$

Substituindo na equação e manipulando temos:

$2·\underset{\cos \left(2\theta \right)}{\underbrace{\left(2{\cos }^2\left(\theta \right)-1\right)}}+5\cos \left(\theta \right)=4$

$4{\cos }^2\left(\theta \right)-2+5\cos \left(\theta \right)-4=0$

$4{\cos }^2\left(\theta \right)+5\cos \left(\theta \right)-6=0$

Perceba que se trata de uma equação quadrádita em função do $\cos \left(\theta \right)$, desta forma, por Bháskara:

$\cos \left(\theta \right)=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·4·\left(-6\right)}}{2·4}=\frac{-5\pm 11}{8}=\left\{\begin{array}{l}-2\\ \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\end{array}\right.$

Como $-2$ não convém, segue que $\cos \left(\theta \right)=\frac{3}{4}$.

De posse do cosseno, sabendo que $0º<\theta \le 90º$ e com auxílio do Ciclo Trigonométrico podemos deduzir um intervalo mais restrito para $\theta$.

Note que:

$\cos \left(60º\right)=\frac{1}{2}=0,5$

$\cos \left(45º\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cong 0,7$

$\cos \left(30º\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cong 0,85$

Como $\cos \left(\theta \right)=\frac{3}{4}=0,75$ segue que $30º<\theta \le 45º$.