Questão 43 Unicamp 2021 - 1ª fase - 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 43

Função Exponencial Função Logarítmica

Dados preliminares da pandemia do Covid-19 indicam que, no início da disseminação, em determinada região, o número de pessoas contaminadas dobrava a cada 3 dias. Usando que $\log_{10} 2 \approx 0, 3$ e $\log_{10} 5 \approx 0, 7$ , após o primeiro contágio, o número de infectados atingirá a marca de 4 mil entre

a)	o 18º dia e o 24º dia.
b)	o 25º dia e o 31º dia.
c)	o 32º dia e o 38º dia.
d)	o 39º dia e o 45º dia.

Resolução

Seja $T$ o número de períodos de 3 dias que se passaram a partir do dia em que houve o primeiro contágio, e $N (T)$ o número de infectados. Temos que:

instante inicial ( $T = 0$ ): $N (0) = 1 = 2^{0}$
depois de 3 dias ( $T = 1$ ): $N (1) = 2 \cdot N (0) = 2 \cdot 1 = 2^{1}$
depois de 6 dias ( $T = 2$ ): $N (2) = 2 \cdot N (1) = 2 \cdot 2^{1} = 2^{2}$
...
depois de $3 T$ dias ( $T$ períodos de 3 dias): $N (T) = 2^{T}$

Queremos saber quando teremos $N (T) = 4000$ :

$N (T) = 4000 \Leftrightarrow 2^{T} = 4000$

Aplicando logaritmo (na base 10) em ambos os membros dessa igualdade, segue que:

$\log_{10} 2^{T} = \log_{10} (2^{2} \cdot 1000) \Leftrightarrow T \cdot \log 2 = 2 \cdot \log 2 + \log 1000$

Sendo $\log 1000 = 3$ e $\log 2 \approx 0, 3$ , temos:

$T \cdot 0, 3 = 2 \cdot 0, 3 + 3 \Leftrightarrow T = \frac{3, 6}{0, 3} = 12 (períodos de 3 dias)$

Assim, o número de dias é dado por:

$12 \cdot 3 = 36 dias$