Questão 44 Unicamp 2021 - 1ª fase - 2º dia

Para que a equação matricial não admita solução única (SPD), o determinante da matriz incompleta deve ser nulo, ou seja:

$\left|\begin{array}{cc}a& -1\\ a-2& a\end{array}\right|=0$

$a^2+a-2=0$

O que resulta em $a=1$ ou $a=-2$.

Agora, perceba que para $a=1$ a equação matricial fica da seguinte forma:

$\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -3\end{array}\right]$

Gerando o sistema:

$\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ -x+y=-3\end{array}\right.$

Note que tal sistema apresenta a mesma equação (a segunda é a primeira multiplicada por $-1$). Desta forma podemos classificá-lo como sistema possível indeterminado (SPI) possibilitando infinitas soluções.

Podemos concluir que para $a=-2$ o sistema será impossível (SI) e não admitirá solução.

De fato, para $a=-2$  temos a equação matricial:

$\left[\begin{array}{cc}-2& -1\\ -4& -2\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -6\end{array}\right]$

Gerando o sistema:

$\left\{\begin{array}{l}-2x-y=3\\ -4x-2y=-6\end{array}\right.$

Note que ao dividirmos a segunda equação teríamos:

$\left\{\begin{array}{l}-2x-y=3\\ -2x-y=-3\end{array}\right.$

O que é um absurdo!