Questão 45 Unicamp 2021 - 1ª fase - 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 45

Radiciação com Índice Ímpar Equações e inequações exponenciais

Sabendo que $10^{0, 3} < 2 < 10^{0, 31}$ e que $x$ é tal que $\sqrt[2021]{10^{3 x + 5}} = 20$ , então

a)	$855 ⩽ x < 870$ .
b)	$870 ⩽ x < 885$ .
c)	$885 ⩽ x < 900$ .
d)	$900 ⩽ x < 1005$ .

Resolução

Partindo da equação inicial, temos que:

$\sqrt[2021]{10^{3 x + 5}} = 20 \Leftrightarrow 10^{3 x + 5} = 2^{2021} \cdot 10^{2021} \Leftrightarrow$

$\frac{10^{3 x + 5}}{10^{2021}} = 2^{2021} \Leftrightarrow 10^{3 x - 2016} = 2^{2021}$

Por hipótese, temos que $10^{0, 3} < 2 < 10^{0, 31}$ . Elevando todos os membros a 2021, mantemos os sinais das inequações inalterados, pois a função $f (x) = x^{2021}$ é estritamente crescente. Assim:

${(10^{0, 3})}^{2021} < 2^{2021} < {(10^{0, 31})}^{2021} \Leftrightarrow 10^{606, 3} < 2^{2021} < 10^{626, 51}$

Como, $10^{3 x - 2016} = 2^{2021}$ , então:

$10^{606, 3} < 2^{2021} < 10^{626, 51} \Leftrightarrow 10^{606, 3} < 10^{3 x - 2016} < 10^{626, 51}$

Como função exponencial de base maior que 1 é estitamente crescente, passamos para a comparação entre os expoentes mantendo inalterados os sinais das inequações:

$10^{606, 3} < 10^{3 x - 2016} < 10^{626, 51} \Leftrightarrow 606, 3 < 3 x - 2016 < 626, 51 \Leftrightarrow$

$2622, 3 < 3 x < 2642, 51 \Leftrightarrow 874, 1 < x < 880, 83 \bar{6}$

Dentre as alternativas, a única que contém esse intervalo de números reais é a alternativa (b):

$870 ⩽ x < 885 .$