Questão 46 Unicamp 2021 - 1ª fase - 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 46

Progressão Geométrica Área do Triangulo

Considere que as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica. Sendo $a$ a medida do menor lado e $A$ a área desse triângulo, é correto afirmar que

a)	$A = a^{2} \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 2}}{4} .$
b)	$A = a^{2} \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} - 2}}{4} .$
c)	$A = a^{2} \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 2}}{2} .$
d)	$A = a^{2} \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} - 2}}{2} .$

Resolução

Por hipótese, temos que os lados do triângulo retângulo estão em PG com o menor lado medindo $a > 0$ , admitindo $q$ como a razão da PG, temos a seguinte figura:

Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:

${(a q^{2})}^{2} = a^{2} + {(a q)}^{2} \Leftrightarrow a^{2} q^{4} = a^{2} + a^{2} q^{2}$

Sendo $a > 0 \Rightarrow a^{2} \neq 0$ , dividindo ambos os membros da igualdade por $a^{2}$ , vem que:

$q^{4} = 1 + q^{2} \Leftrightarrow {(q^{2})}^{2} - q^{2} - 1 = 0$

Fazendo uma mudança de variável, $q^{2} = x$ , temos:

$x^{2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Como, $x = q^{2} \Rightarrow x > 0$ , descartamos a opção negativa, e ficamos com:

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow q^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow q = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Como $q$ deve ser um número positivo, pois caso contrário $a \cdot q$ não poderia ser a medida de um segmento, ficamos com:

$q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{5}}}{2}$

Logo, a área $A$ do triângulo é:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a q = \frac{a^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{5}}}{2} = a^{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{5}}}{4}$