Questão 47 Unicamp 2021 - 1ª fase - 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 47

Divisão de Polinômios

Sabendo que $a$ é um número real, considere os polinômios $p (x) = x^{3} - x^{2} + a$ e $q (x) = x^{2} + x + 2$ . Se $p (x)$ é divisível por $q (x)$ , então

a)	$a = 3 .$
b)	$a = 2 .$
c)	$a = - 1 .$
d)	$a = - 4 .$

Resolução

Como o polinômio $p (x) = x^{3} - x^{2} + a$ é divisível pelo polinômio $q (x) = x^{2} + x + 2$ , então, o resto da divisão é o polinômio identicamente nulo.

Pelo método das chaves temos:

$x^{3} - x^{2} + a x^{2} + x + 2 - x^{3} - x^{2} - 2 x x - 2 - 2 x^{2} - 2 x + a + 2 x + 2 x + 4 a + 4$

Como o resto deve ser o polinômio identicamente nulo, segue que:

$a + 4 = 0 \Leftrightarrow a = - 4$ .

Resolução alternativa:

Podemos utilizar o método de Descartes, ou seja, dos coeficientes a determinar.

Como $p (x) = x^{3} - x^{2} + a$ é divisível pelo polinômio $q (x) = x^{2} + x + 2$ , pela divisão euclidiana:

$p (x) = q (x) \cdot f (x)$

Como $p (x)$ tem grau 3 e $q (x)$ grau 2, então, $f$ tem grau 1, admitindo $f (x) = b x + c$ , encontraremos a seguinte identidade:

$x^{3} - x^{2} + a \equiv (x^{2} + x + 2) \cdot (b x + c) x^{3} - x^{2} + a \equiv b x^{3} + (b + c) x^{2} + (2 b + c) x + 2 c$

Igualando os coeficientes termo a termo, vem que:

$\{\begin{cases} b = 1 b + c = - 1 2 b + c = 0 \\ 2 c = a \end{cases} \Rightarrow c = - 2 \Rightarrow a = - 4$ .