Questão 2 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Primeira Lei da Termodinâmica nas Transformações (Física) Transformações Adiabáticas (Física)

Um mol de um gás ideal monoatômico é resfriado adiabaticamente de uma temperatura inicial $T_{1}$ até uma temperatura final $\frac{T_{1}}{3}$ .

Com base nessas informações, responda:

a) O gás sofreu expansão ou compressão ao final do processo? Justifique sua resposta.

b) Encontre o valor do trabalho realizado pelo gás nesse processo em termos da constante universal dos gases ideais R e de $T_{1}$ .

c) Encontre a razão entre as pressões final e inicial do gás após o processo.

Resolução

a) Em uma transformação adiabática, não há troca de calor com o ambiente, logo, $Q = 0$ . De acordo com a primeira lei da Termodinâmica, o calor que um gás troca com o ambiente se transforma em variação de energia interna $Δ U$ e trabalho $W$ :

$Q = Δ U + W;$

desta forma,

$W = - Δ U . [1]$

Como a temperatura do gás diminui na transformação, $Δ T < 0$ , a energia interna também diminui, pois a energia interna $U$ é proporcional à temperatura $T$ , de modo que

$Δ U < 0 .$

Logo, o gás realiza trabalho nesta transformação adiabática: $W > 0$ ; isto é possível se ele sofrer expansão.

b) De acordo com a equação $[1]$ anterior, sendo $U_{1}$ a energia interna inicial e $U_{2}$ a energia interna final,

$W = - Δ U = U_{1} - U_{2} .$

Como $T_{2} = T_{1} / 3$ , vem que

$W = \frac{3}{2} R \cdot T_{1} - \frac{3}{2} R \cdot T_{2} \Rightarrow W = \frac{3}{2} R \cdot T_{1} - \frac{3}{2} R \frac{T_{1}}{3} \Rightarrow W = R \cdot T_{1} .$

Note que este valor é positivo, em acordo com o descrito no item (a).

c) A fim de determinar a razão entre as pressões, tendo como dados as temperaturas, é necessário reescrever a relação entre pressão e volume para a transformação adiabática em termos da pressão e da temperatura. Isto pode ser feito utilizando a equação de estado de um gás ideal, $P \cdot V = n \cdot R \cdot T$ . Segundo o enunciado, $n = 1$ , então

$V = \frac{n \cdot R \cdot T}{P} = \frac{R \cdot T}{P} .$

Sendo $γ = 5 / 3$ o coeficiente adiabático de um gás monoatômico ideal e $P_{1}$ e $P_{2}$ as pressões inicial e final, respectivamente, temos que

$P_{1} {V_{1}}^{γ} = P_{2} {V_{2}}^{γ} \Rightarrow P_{1} {(\frac{R \cdot T_{1}}{P_{1}})}^{γ} = P_{2} {(\frac{R \cdot T_{2}}{P_{2}})}^{γ} \Rightarrow {P_{1}}^{1 - γ} \cdot {T_{1}}^{γ} = {P_{2}}^{1 - γ} \cdot {T_{2}}^{γ} \Rightarrow {(\frac{P_{2}}{P_{1}})}^{1 - γ} = {(\frac{T_{1}}{T_{2}})}^{γ} .$

Como $T_{1} / T_{2} = 3$ e $1 - γ = - 2 / 3$ ,

${(\frac{P_{2}}{P_{1}})}^{- 2 / 3} = 3^{5 / 3} \Rightarrow \frac{P_{2}}{P_{1}} = 3^{- 5 / 2} = \frac{\sqrt{3}}{27} .$