Questão 3 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Radioatividade (Física Moderna) Relação Massa Energia

A tomografia por emissão de pósitrons (PET) é uma técnica de imagem por contraste na qual se utilizam marcadores com radionuclídeos emissores de pósitrons. O radionuclídeo mais utilizado em PET é o isótopo 18 do flúor, que decai para um núcleo de oxigênio‐18, emitindo um pósitron. O número de isótopos de flúor‐18 decai de forma exponencial, com um tempo de meiavida de aproximadamente 110 minutos

A imagem obtida pela técnica de PET é decorrente da detecção de dois fótons emitidos em sentidos opostos devido à aniquilação, por um elétron, do pósitron resultante do decaimento. A detecção é feita por um conjunto de detectores montados num arranjo radial. Ao colidir com um dos detectores, o fóton gera cargas no material do detector, as quais, por sua vez, resultam em um sinal elétrico registrado no computador do equipamento de tomografia. A intensidade do sinal é proporcional ao número de núcleos de flúor‐18 existentes no início do processo.

a) Após a realização de uma imagem PET, o médico percebeu um problema no funcionamento do equipamento e o reparo durou 3h40min. Calcule a razão entre a intensidade do sinal da imagem obtida após o reparo do equipamento e a da primeira imagem.

b) Calcule a energia de cada fóton gerado pelo processo de aniquilação elétron‐pósitron considerando que o pósitron e o elétron estejam praticamente em repouso. Esta é a energia mínima possível para esse fóton.

c) A carga elétrica gerada dentro do material do detector pela absorção do fóton é proporcional à energia desse fóton. Sabendo se que é necessária a energia de 3 eV para gerar o equivalente à carga de um elétron no material, estime a carga total gerada quando um fóton de energia 600 keV incide no detector.

Resolução

a) A intensidade do sinal da imagem é proporcional à taxa de emissão de pósitrons (pósitrons emitidos por unidade de tempo), que por sua vez é proporcional ao número de radionuclídeos que ainda não decaíram. Assim, devemos determinar a quantidade de radionucídeos que não decaíram nas duas situações, sendo $N_{0}$ a quantidade inicial de radionuclídeos e $N_{f}$ quantidade de radionuclídeos após o reparo.

De acordo com o exposto acima, podemos concluir que

$\frac{I_{f}}{I_{0}} = \frac{N_{f}}{N_{0}}$

sendo $I_{0}$ a intensidade inicial da imagem antes do reparo e $I_{f}$ a intensidade final da imagem, após 3h40min. Como 3h40min corresponde a 220 minutos, isto é, a dois tempos de meia vida do flúor-18 (110 minutos, segundo o enunciado), a quantidade de raionuclídeos radioativos reduziu à metade duas vezes, ou seja:

$N_{0} \overset{após uma meia vida}{\to} \frac{1}{2} \cdot N_{0} \overset{após mais uma meia vida}{\to} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot N_{0}$

isto é

$N_{0} \overset{após duas meias vidas}{\to} \frac{N_{0}}{4}$ .

Portanto temos:

$\frac{I_{f}}{I_{0}} = \frac{N_{f}}{N_{0}} \Rightarrow \frac{I_{f}}{I_{0}} = \frac{N_{0} / 4}{N_{0}} \Rightarrow$

$\frac{I_{f}}{I_{0}} = \frac{1}{4}$ .

b) Devido à conservação de energia, a energia total dos dois fótons, $2 E$ , é igual à energia devido à massa total, $2 m$ , do pósitron e do elétron; pela relação de Einstein, temos então

$2 E = 2 m \cdot c^{2} \Rightarrow E = m \cdot c^{2}$ .

Assim, a energia de cada fóton será:

$E = m \cdot c^{2} \Rightarrow E = 9 \cdot 10^{- 31} \cdot (3 \cdot 10^{8})^{2} \Rightarrow$

$E = 8, 1 \cdot 10^{- 14} J$ .

c) Como a carga elétrica é proporcional à energia, podemos montar a seguinte proporção:

$\begin{matrix} 3 eV — carga de um elétron \\ 600 keV — Q \end{matrix} \Rightarrow \begin{matrix} 3 eV — 1, 6 \cdot 10^{- 19} C \\ 600 \cdot 10^{3} eV — Q \end{matrix}$

Ou seja:

$Q = \frac{600 \cdot 10^{3} \cdot 1, 6 \cdot 10^{- 19}}{3} \Rightarrow$

$Q = 3, 2 \cdot 10^{- 14} C$ .