Questão 4 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Campo elétrico uniforme Força Magnética em uma Carga

Em um ambiente do qual se retirou praticamente todo o ar, as placas de um capacitor estão arranjadas paralelamente e carregadas com cargas de mesma magnitude Q e sinais contrários, produzindo, na região entre as placas, um campo elétrico que pode ser considerado uniforme, com módulo igual a $10^{6}$ V/m. Uma partícula carregada negativamente, com carga de módulo igual a $10^{- 9} C$ , é lançada com velocidade de módulo $V_{0}$ igual a 100 m/s ao longo da linha que passa exatamente pelo centro da região entre as placas, como mostrado na figura. A distância d entre as placas é igual a 1 mm. Despreze os efeitos gravitacionais.

a) Aponte, entre as trajetórias 1 e 2 mostradas na figura, aquela que mais se aproxima do movimento da partícula na região entre as placas.

b) Sabendo que a massa da partícula é igual a $10 µ g$ , determine a que distância horizontal x a partícula atingirá uma das placas, supondo que elas sejam suficientemente longas.

c) Quais seriam o sentido e o módulo de um eventual campo magnético a ser aplicado na região entre as placas, perpendicularmente ao plano da página, para que a partícula, em vez de seguir uma trajetória curva, permaneça movendose na mesma direção e no mesmo sentido com que foi lançada?

Resolução

a) Segundo o enunciado, a partícula lançada no interior das placas é negativa, assim ela deve ser atraída para a placa positiva (superior), portanto concluímos que a trajetória da partícula é a 1.

b) Para determinar a distância $x$ é necessário determinar quanto tempo leva para a partícula atingir a placa superior. Para isso, vamos decompor o movimento em duas direções: a horizontal, que chamaremos de x, e a vertical, que chamaremos de y.

Observe que em y há a ação de uma força elétrica vertical para cima, pois a carga é negativa, como discutido no item (a), assim podemos determinar a aceleração em termos de sua massa $m$ , do módulo de sua carga elétrica $q$ e do campo elétrico $E$ , todos dados no enunciado:

$F_{r e s u l t a n t e} = F_{e l é t r i c a} \Rightarrow m \cdot a = q \cdot E \Rightarrow$

$a = \frac{q \cdot E}{m} eq . (1)$ .

Como o movimento vertical é uniformemente variado, pois a aceleração é constante, e considerando que a posição inicial em y é zero, a posição no instante $t$ , medido a partir de $t_{0} = 0$ , em que ela tocar a placa será $d / 2$ . Usando estas informações, a aceleração obtida na equação (1) e o fato da velocidade inicial na direção y ser nula, obtemos:

$y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{a \cdot t^{2}}{2} \Rightarrow \frac{d}{2} = 0 + 0 + a \cdot \frac{t^{2}}{2} \Rightarrow$

$d = \frac{q \cdot E}{m} \cdot t^{2} \Rightarrow t^{2} = \frac{m \cdot d}{q \cdot E} \Rightarrow$

$t = \sqrt{\frac{m \cdot d}{q \cdot E}} eq . (2)$ .

Substituindo os dados do enunciado na equação (2), temos:

$t = \sqrt{\frac{10 \cdot 10^{- 9} \cdot 1 \cdot 10^{- 3}}{10^{- 9} \cdot 10^{6}}} \Rightarrow t = 10^{- 4} s$ .

Aqui devemos ter cuidado com as unidades, pois devemos substituir os dados com unidades do sistema internacional. Abaixo apresentamos estes valores:

$m = 10 μg = 10 \cdot 10^{- 6} g = 10 \cdot 10^{- 9} kg d = 1 mm = 1 \cdot 10^{- 3} m q = 10^{- 9} C E = 10^{6} V / m$

Assim, sabemos que, na direção horizontal, a partícula percorre a distância $x$ em $t = 10^{- 4} s$ , portanto:

$V_{0} = \frac{x}{t} \Rightarrow 100 = \frac{x}{10^{- 4}} \Rightarrow$

$x = 10^{- 2} m$ .

Como o enunciado não determinou a unidade de referência, poderíamos responder 1 cm ou 10 mm.

c) Para que a partícula tenha uma trajetória retilínea, a força magnética deve agir de cima para baixo. Note que a carga é negativa e se desloca da esquerda para a direita, assim podemos usar a regra da mão esquerda considerando a velocidade como sentido convencional de uma corrente, ou seja, considerando a velocidade como sendo da direita para a esquerda.

Assim concluímos que o campo magnético está perpendicular ao plano da figura e entrando na figura.

Por fim, impondo que a força elétrica e a força magnética possuem mesmo módulo, para que a resultante sobre a carga seja nula e que a trajetória seja retilínea, temos:

$F_{e l é t r i c a} = F_{m a g n é t i c a} \Rightarrow q \cdot E = q \cdot V_{0} \cdot B \Rightarrow B = \frac{E}{V_{0}} \Rightarrow$

$B = \frac{10^{6}}{100} \Rightarrow B = 10^{4} T .$ .