Questão 5 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Energia Potencial Gravitacional na Gravitação Órbitas Circulares (Satélites)

Em janeiro de 2019, a sonda chinesa Chang'e 4 fez o primeiro pouso suave de um objeto terrestre no lado oculto da Lua, reavivando a discussão internacional sobre programas de exploração lunar. Considere que a trajetória de uma sonda com destino à Lua passa por um ponto P, localizado a $\frac{2}{3} d_{T L}$ do centro da Terra e a $\frac{1}{3} d_{T L}$ do centro da Lua, sendo $d_{T L}$ a distância entre os centros da Terra e da Lua.

a) Considerando que a massa da Terra é cerca de 82 vezes maior que a massa da Lua, determine a razão $F_{T} / F_{L}$ entre os módulos da força gravitacional que a Terra e a Lua, respectivamente, exercem sobre a sonda no ponto P.

Ao chegar próximo à Lua, a sonda foi colocada em uma órbita lunar circular a uma altura igual ao raio da Lua ( $R_{L}$ ), acima de sua superfície, como mostra a figura. Desprezando os efeitos da força gravitacional da Terra e de outros corpos celestes ao longo da órbita da sonda,

b) determine a velocidade orbital da sonda em torno da Lua em termos da constante gravitacional G, da massa da Lua $M_{L}$ e do raio da Lua $R_{L}$ ;

c) determine a variação da energia mecânica da nave quando a altura da órbita, em relação à superfície da Lua, é reduzida para 0,5 $R_{L}$ . Expresse seu resultado em termos de $G$ , $R_{L}$ , $M_{L}$ e da massa da sonda $m_{S}$ .

Resolução

a) Segundo o enunciado, a massa da Terra é $M_{T} = 82 \cdot M_{L}$ . O módulo da força gravitacional que a Terra exerce sobre a sonda quando esta se encontra no ponto P, distante $d_{P T} = 2 d_{T L} / 3$ do centro da Terra, é dada por

$F_{T} = \frac{G \cdot M_{T} \cdot m_{s}}{{d_{P T}}^{2}} = \frac{G \cdot 82 \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{{(2 d_{T L} / 3)}^{2}} = \frac{82}{4} \cdot 9 \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{{d_{T L}}^{2}} .$

Já o módulo da força gravitacional que a Lua exerce sobre a sonda quando esta está em P, distante $d_{P L} = d_{T L} / 3$ do centro da Lua, é dada por

$F_{L} = \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{{d_{P L}}^{2}} = \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{{(d_{T L} / 3)}^{2}} = 9 \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{{d_{T L}}^{2}} .$

Note que $F_{T} = \frac{82}{4} F_{L}$ , portanto,

$\frac{F_{T}}{F_{L}} = \frac{41}{2} .$

b) Em uma órbita circular guiada somente pela força gravitacional, esta atua como a força resultante centrípeta do movimento. Para uma órbita de raio $R$ ao redor da Lua, isto implica que a velocidade $v$ com que a órbita é executada é dada por

$F_{g r a v} = F_{C P} \Rightarrow \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{R^{2}} = m_{s} \frac{v^{2}}{R} \Rightarrow v^{2} = \frac{G \cdot M_{L}}{R} . [1]$

Quando a altura da órbita for $R_{L}$ , o raio da órbita em relação ao centro da Lua é $R = 2 \cdot R_{L}$ , portanto,

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_{L}}{2 R_{L}}} .$

c) A energia mecânica de um corpo em movimento é dada pela soma de suas energias cinética e potenciais:

$E_{M E C} = E_{C I N} + E_{P O T} .$

No movimento da sonda (nave) ao redor da Lua, haverá energia potencial gravitacional, de modo que para uma órbita de raio $R$ ,

$E_{M E C} = \frac{1}{2} m_{s} \cdot v^{2} + (- \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{R}) \Rightarrow E_{M E C} = \frac{1}{2} m_{s} \frac{G \cdot M_{L}}{R} - \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{R} \Rightarrow E_{M E C} = - \frac{1}{2} \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{R} .$

Na passagem acima, foi usada a equação $[1]$ do item (a). Quando a altura da órbita for $R_{L}$ , o raio da órbita é $R_{1} = 2 \cdot R_{L}$ , quando a altura da órbita for $0, 5 \cdot R_{L}$ , o raio da órbita é $R_{2} = 1, 5 \cdot R_{L}$ . As energias mecânicas de cada órbita são iguais a

$E_{M E C, 1} = - \frac{1}{2} \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{2 \cdot R_{L}} = - \frac{1}{4} \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{R_{L}},$

$E_{M E C, 2} = - \frac{1}{2} \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{1, 5 \cdot R_{L}} = - \frac{1}{3} \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{R_{L}};$

assim, a variação da energia mecânica da sonda ao mudar de órbitas é dada por

$Δ E_{M E C} = E_{M E C, 2} - E_{M E C, 1} \Rightarrow Δ E_{M E C} = (- \frac{1}{3} \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{R_{L}}) - (- \frac{1}{4} \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{R_{L}}) \Rightarrow Δ E_{M E C} = - \frac{1}{12} \frac{G \cdot M_{L} \cdot m_{s}}{R_{L}} .$