Questão 6 Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Equilíbrio de Corpos Extensos

Uma equilibrista de massa $M$ desloca‐se sobre uma tábua uniforme de comprimento L e massa m apoiada (sem fixação) sobre duas colunas separadas por uma distância $D$ ( $D < L$ ) de modo que o centro da tábua esteja equidistante das colunas. O ponto de apoio da equilibrista está a uma distância $d$ (tal que $D / 2 < d < L / 2$ ) do centro da tábua, como mostra a figura.

a) Considerando que a tábua está em equilíbrio, faça um diagrama indicando todas as forças que atuam sobre a tábua e seus respectivos pontos de aplicação.

b) Calcule o torque resultante exercido pelos pesos da equilibrista e da tábua em relação ao ponto A (ponto de apoio da tábua na coluna mais próxima da equilibrista). Escreva sua resposta em termos de grandezas mencionadas no enunciado ( $M$ , $L$ , $m$ , $D$ , $d$ ) e da aceleração da gravidade $g$ .

c) Calcule a distância máxima $d_{m á x}$ da equilibrista ao centro da tábua para que o conjunto permaneça em equilíbrio estático. Considere os seguintes dados: comprimento da tábua: $L = 5 m$ ; massa da tábua: $m = 20 kg$ , massa da equilibrista: $M = 60 kg$ , distância entre as colunas: $D = 3 m$ .

Resolução

a) Há quatro forças que atuam sobre a tábua: seu peso ${\vec{P}}_{T}$ , aplicado em seu centro de massa - que coincide, neste caso, com seu centro geométrico, pois é uniforme -, as forças de reação normal ${\vec{N}}_{E}$ e ${\vec{N}}_{D}$ devidas às colunas da esquerda e da direita, respectivamente, e a força de reação normal ${\vec{N}}_{R}$ da roda do monociclo da equilibrista, tal como identificado na figura abaixo.

b) As forças e as distâncias relevantes para o cálculo estão identificadas na figura abaixo, em que o peso da equilibrista é ${\vec{P}}_{E} = {\vec{N}}_{R}$ .

Primeiramente, notemos que ambas as forças são perpendiculares à tábua e que os braços de ação das forças são $b_{T} = D / 2$ para o peso da tábua e $b_{E} = d - D / 2$ para o peso da equilibrista. Assumindo o sentido de giro anti-horário ao redor de A como positivo, o torque devido ao peso da tábua é

$τ_{T} = + P_{T} \cdot b_{T} = \frac{m \cdot g \cdot D}{2} .$

O torque devido ao peso da equilibrista é

$τ_{E} = - P_{E} \cdot b_{E} = - M \cdot g (d - \frac{D}{2}) .$

Desta forma, o torque resultante destas duas forças é dada por

$τ = τ_{T} + τ_{E} = \frac{m \cdot g \cdot D}{2} - M \cdot g (d - \frac{D}{2}) \Rightarrow τ = (M + m) \frac{g \cdot D}{2} - M \cdot g \cdot d .$

c) Quando a equilibrista se encontrar na distância máxima $d_{m á x}$ em relação ao centro da tábua, a tábua estará na iminência de perder contato com a coluna da esquerda, prestes a tombar para a direita girando no sentido horário ao redor de A, ou seja, nesta condição, $N_{E} = 0$ . Além disso, a força normal de contato sobre a coluna da direita não exerce torque sobre a tábua em relação ao ponto A, de modo que o torque total agindo sobre a tábua é aquele determinado no item anterior.

Para haver equilíbrio de rotação, o torque resultante deve ser nulo, logo

$τ = 0 \Rightarrow (M + m) \frac{g \cdot D}{2} = M \cdot g \cdot d_{m á x} \Rightarrow d_{m á x} = \frac{M + m}{M} \cdot \frac{D}{2} = \frac{60 + 20}{60} \cdot \frac{3}{2} \Rightarrow d_{m á x} = 2 m .$