Questão 11 Unifesp 2020 - 2ª fase - Bioexatas - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 11

Velocidade Angular Choques Mecânicos

Um foguete de massa M partiu do repouso da posição A, no solo horizontal, e subiu verticalmente, monitorado por um radar que o seguiu durante determinado trecho de seu percurso, mantendo-se sempre apontado para ele. A figura 1 mostra o foguete na posição B, a 8500 m de altura, com a linha que liga o radar a ele inclinada de um ângulo $α = 1 rad$ em relação à horizontal. Para acompanhar o foguete no trecho AB, o radar girou ao redor de um eixo horizontal que passa por ele, com velocidade angular média $ω_{méd} = 0, 02 rad / s$ . Um pouco mais tarde, ao passar pela posição C, com velocidade de 4600 km/h, o primeiro estágio do foguete (de cor azul, nas figuras), de massa $\frac{M}{3}$ , desacoplou-se do restante do veículo. Imediatamente após o desacoplamento, devido à ação de forças internas, a velocidade escalar do primeiro estágio foi reduzida a 3000 km/h, na mesma direção e sentido da velocidade do foguete no trecho AB, conforme mostra a figura 2.

Considerando a massa total do foguete (M) constante, calcule:

a) a velocidade escalar média do foguete, em m/s, no trecho AB de sua subida vertical.

b) a velocidade escalar instantânea $v_{c}$ do foguete, em m/s, sem o primeiro estágio, imediatamente após o desacoplamento ocorrido na posição C.

Resolução

a) A abertura angular $Δ θ = α = 1 rad$ é realizada com velocidade angular média $ω_{m} = 0, 02 rad / s$ , logo, ela é executada ao longo de um intervalo de tempo $Δ t$ tal que

$ω_{m} = \frac{Δ θ}{Δ t} \Rightarrow Δ t = \frac{Δ θ}{ω_{m}} = \frac{1}{0, 02} = 50 s .$

Durante este intervalo de tempo o foguete sobe a distância $Δ s = 8.500 m$ , de modo que sua velocidade escalar, assumindo o referencial orientado para cima, é

$v_{m} = \frac{Δ s}{Δ t} = \frac{8.500}{50} = 170 m / s .$

b) Como o desacoplamento ocorre somente pela ação de forças internas entre o primeiro estágio e o foguete, eles constituem um sistema isolado e a quantidade de movimento total se conserva. A quantidade de movimento inicial, antes do desacoplamento, se deve ao foguete inteiro, de massa $M$ e velocidade $v = 4.600 km / h$ , e seu módulo vale

$Q_{I N I} = M \cdot v = 4.600 M .$

A quantidade de movimento final, após o desacoplamento, se deve ao primeiro estágio, de massa $M / 3$ e velocidade $v_{1} = 3.000 km / h$ e ao restante do foguete, de massa $2 M / 3$ e velocidade $v_{c}$ a ser determinada. Como ambas estas velocidades estão no mesmo sentido, o módulo da quantidade de movimento do conjunto é igual à soma das quantidades de movimento de cada corpo, logo

$Q_{F I M} = \frac{M}{3} \cdot v_{1} + \frac{2 M}{3} \cdot v_{c} = \frac{M}{3} \cdot 3.000 + \frac{2 M}{3} \cdot v_{c} = 1.000 M + \frac{2 M}{3} v_{c} .$

Como a quantidade de movimento é conservada,

${\vec{Q}}_{I N I} = {\vec{Q}}_{F I M} \Rightarrow Q_{I N I} = Q_{F I M} \Rightarrow 4.600 M = 1.000 M + \frac{2 M}{3} v_{c} \Rightarrow \frac{2 M}{3} v_{c} = 3.600 M \Rightarrow v_{c} = 5.400 km / h .$

Já que as velocidades foram mantidas em km/h durante os cálculos, esta é a unidade da resposta final.