Questão 13 Unifesp 2020 - 2ª fase - Bioexatas

a) Quando o objeto é colocado sobre o centro de curvatura C do espelho esférico, a imagem que este conjuga também está localizada sobre o centro de curvatura do espelho, e ela possui o mesmo tamanho do objeto e é invertida. A figura abaixo ilustra ambas as situações, com a descrita acima destacada em azul.

Para esta situação ser atingida, o objeto deve se deslocar 12 cm para a esquerda, enquanto que a imagem se desloca 48 cm para a direita; como os deslocamentos se dão em sentidos diferentes, as velocidades escalares de ambos devem possuir sinais opostos entre si. Assumindo que os deslocamentos ocorram em um intervalo de tempo $\Delta t$, e que o referencial parte do vértice V do espelho em direção ao foco F, temos que

$v_{IM}=\frac{\Delta s_{IM}}{\Delta t}=\frac{-48}{\Delta t}$  e  $v_{OB}=\frac{\Delta s_{OB}}{\Delta t}=\frac{12}{\Delta t}.$

Desta forma,

$\frac{v_{IM}}{v_{OB}}=\frac{-48/\Delta t}{12/\Delta t}=-4;$

como o item pergunta sobre o valor absoluto,

$\left|\frac{v_{IM}}{v_{OB}}\right|=4.$

b) Na situação inicial do enunciado, a extremidade do objeto possui coordenada $o=h$, enquanto a imagem da extremidade possui coordenada $i=-4h$, já que a imagem é invertida. Além disso, como a distância entre o vértice V e o centro de curvatura C é igual ao dobro da distância focal, $2f$, a distância do objeto ao vértice do espelho é $p=2f-12$, enquanto a distância da imagem até o espelho é $p\text{'}=2f+48$, com as medidas positivas, pois ambos são reais, e dadas em centímetros. Desta forma, o aumento linear transversal vale

$$\begin{gathered} A=\frac{i}{o}=-\frac{p\text{'}}{p} \\ \Rightarrow \frac{-4h}{h}=-\frac{2f+48}{2f-12} \\ \Rightarrow 4\left(2f-12\right)=2f+48 \\ \Rightarrow f=16 cm. \end{gathered}$$

A distância focal positiva é coerente com o espelho ser côncavo.