Questão 16 Unifesp 2020 - 2ª fase - Bioexatas - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 16

Estatística

A tabela indica o quadro de medalhas dos seis países primeiros colocados nos jogos Pan-Americanos realizados na cidade de Lima, que terminaram em agosto de 2019. Essa edição marcou a conquista do maior número de medalhas pelo Brasil, desde sua primeira participação nos jogos.

a) Admita um novo critério para a classificação dos países no quadro de medalhas, em que a medalha de bronze vale 1 ponto, a de prata vale 2 pontos e a de ouro vale 3 pontos, ordenando-se os países pelo total de pontos obtidos com suas medalhas. Por esse novo critério, Argentina, Brasil, Cuba e EUA passam a totalizar 200, 326, 191 e 621 pontos, respectivamente. Calcule a pontuação do México e do Canadá pelo novo critério, e compare a classificação desses seis países no critério atual com o novo critério.

b) Sabe-se que os jogos Pan-Americanos acontecem de quatro em quatro anos e que na edição do Rio de Janeiro, em 2007, o Brasil conquistou 157 medalhas. Considerando-se o total de medalhas conquistadas pelo Brasil nas últimas cinco edições desses jogos que aconteceram no século XXI, a mediana e a moda são, ambas, iguais a 141, e a média é igual a 146,6. Determine a sequência crescente do total de medalhas conquistadas pelo Brasil nessas cinco edições dos jogos e calcule o desvio padrão entre o maior (em Lima) e o menor (em Santo Domingo) número de medalhas conquistadas.

Resolução

a) Calculando os pontos obtidos por México ( $M$ ) e Canadá ( $C$ ) pelo novo critério, temos:

$M = 37 \cdot 3 + 36 \cdot 2 + 63 = 246 C = 35 \cdot 3 + 64 \cdot 2 + 53 = 286$

Assim, pelo novo critério de pontuação, a classificação seria:

Em comparação ao critério atual, Estados Unidos e Brasil manteriam suas posições (1º e 2º, respectivamente), Canadá passaria de 4º para 3º, enquanto México passaria de 3º para 4º, Argentina passaria de 6º para 5º, e Cuba passaria de 5º para 6º.

b) Tomando $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ e $x_{5}$ como quantidades de medalhas recebidas pelo Brasil nos últimos 5 Pan-Americanos em ordem crescente, temos que, se a mediana da distribuição é 141, então:

$x_{3} = 141$

Sabemos também que o Brasil recebeu 171 medalhas no Pan-Americano de Lima e 157 no do Rio de Janeiro, números esses maiores que 141. Assim, podemos concluir que:

$\{\begin{cases} x_{4} = 157 \\ x_{5} = 171 \end{cases}$

Como a distribuição tem moda igual a 141, então há pelo menos mais um dos dados restantes com esse valor. Supondo $x_{2} = 141$ e utilizando o fato da média dos dados ser igual a 146,6, temos:

$x = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5} \Leftrightarrow 146, 6 = \frac{x_{1} + 141 + 141 + 157 + 171}{5} \Leftrightarrow x_{1} = 123$

Logo, a suposição estava correta, visto que $x_{1} < x_{2}$ e a distribuição final é:

$(123, 141, 141, 157, 171)$

Assim, a média entre o maior e o menor dentre os números da distribuição é:

$X = \frac{123 + 171}{2} = 147$

E o desvio padrão $σ$ correspondente será:

$σ = \sqrt{\frac{{(123 - 147)}^{2} + {(171 - 147)}^{2}}{2}} \Leftrightarrow σ = \sqrt{\frac{24^{2} + 24^{2}}{2}} \Leftrightarrow σ = 24$