Questão 17 Unifesp 2020 - 2ª fase - Bioexatas - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 17

Relações Métricas e Trigonométricas no Triângulo Retângulo Comprimento da Circunferência

Uma corda de 1 m de comprimento está conectada no ponto D de um triângulo retângulo ABC de ângulo reto no vértice A e medidas AB = 3 m e AC = 4 m. O ponto de conexão entre a corda e o triângulo pode deslizar livremente por todos os lados do triângulo. Durante o deslocamento do ponto D por todos os lados do triângulo, com o ponto E distando sempre 1 m do triângulo, E descreverá uma curva fechada, contida no plano do triângulo ABC, chamada de λ.

a) Faça um esboço do desenho de λ e calcule o comprimento dessa curva.

b) Seja M o ponto mais distante do vértice B atingido pelo ponto E durante seu deslocamento e A’ a projeção ortogonal do ponto A sobre a hipotenusa do triângulo ABC. Calcule a distância entre os pontos M e A’.

Resolução

a) Como o ponto $E$ dista sempre 1 m do triângulo em todo percurso, seu trajeto é composto por três segmentos de reta paralelos aos lados do triângulo e três arcos de circunferência com centro nos vértices $A$ , $B$ e $C$ e raio 1, como ilustra a figura abaixo.

Para determinar o comprimento da curva, vamos encontrar a medida do segmento $B C$ :

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} \Rightarrow B C^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 \Rightarrow B C = 5 m$

Marcando as medidas dos lados e dos ângulos na figura temos o seguinte esboço:

Note que os quadriláteros $B F G C$ , $A C H I$ e $A B K J$ são retângulos, consequentemente $I H = A C$ , $F G = B C$ e $A B = K J$ .

Admitindo as medidas dos arcos $\overset{⏜}{F K}$ , $\overset{⏜}{J I}$ e $\overset{⏜}{H G}$ como $α$ , $β$ e $θ$ respectivamente, temos que $α + β + θ = 360 °$ , ou seja, os arcos compõem uma circunferência de raio 1.

Logo, o comprimento da curva é dado por:

$3 + 4 + 5 + 2 \cdot π \cdot 1 = (12 + 2 π) m$

b) Como $M$ é o ponto mais distante do vértice $B$ atingido pelo ponto $E$ , então $M$ está no prolongamento de $B C$ a 1 m de distância de $C$

Temos que $A$ é o pé da altura reativa a hipotenusa, então, pelas relações métricas no triângulo retângulo:

$A C^{2} = C A ´ \cdot B C \Rightarrow 4^{2} = C A ´ \cdot 5 \Rightarrow C A' = \frac{16}{5} m$

Portanto, $M A' = \frac{16}{5} + 1 = \frac{21}{5} m$ .