Questão 19 Unifesp 2020 - 2ª fase - Bioexatas

a) Veja a tabela:

Note que os encaixes possíveis são:

A-1

A-2

B-2

C-3

D-3

D-4

D-5

E-3

E-4

E-5

F-6

Assim, temos 11 encaixes possíves.

Como o total de maneiras de sortear 1 tipo de pino (6 opções) e 1 tipo de tomada (6 opções) é $6·6=36$, a probabilidade $p_1$ pedida é:

$\boxed{p_1=\frac{11}{36}}$

b) O total de maneiras de escolher dois tipos de tomadas e dois tipos de pinos, sendo irrelevante a ordem da escolha para cada um, é dado por:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)=\frac{6·5}{2!}·\frac{6·5}{2!}=225$

Já para calcular as possíveis escolhas de dois pares de pino-tomada em que sejam possíveis dois encaixes, fazemos:

(I) contagem do total de maneiras de escolher 2 dos 11 pares do item (a):

$\left(\begin{array}{c}11\\ 2\end{array}\right)=\frac{11·10}{2!}=55$

(II) contagem dos casos, dentro de (I), que têm o mesmo tipo de tomada ou o mesmo tipo de pino:

A-1 e A-2

A-2 e B-2

C-3 e D-3

C-3 e E-3

D-3 e D-4

D-3 e D-5

D-4 e D-5

D-3 e E-3

D-4 e E-4

D-5 e E-5

E-3 e E-4

E-3 e E-5

E-4 e E-5

(III) contagem dos casos, dentro de (I), que apresentam repetição do tipo de tomada ou do tipo de pino:

Observe, na tabela acima, que os dois casos circulados, embora tenham sido contados nos 55 casos, como casos distintos, são o mesmo caso:

D-3 / E-4 é o mesmo que D-4 / E-3, pois o problema não diferencia em qual tomada o pino está, mas, apenas se ele pode ser conectado em pelo menos uma das tomadas selecionadas.

Da mesma forma:

D-3 / E-5 é o mesmo que D-5 / E-3;

D-4 / E-5 é o mesmo que D-5 / E-4.

Como os casos em (II) e em (III) devem ser retirados da contagem (I), já que serão sorteados dois tipos de tomada e dois tipos de pino (não repete o mesmo tipo de nenhum deles e não importa qual pino encaixa em qual tomada), a probabilidade $p_2$ em questão é:

$p_2=\frac{55-13-3}{225}=\frac{39}{225}\iff \boxed{p_2=\frac{13}{75}}$