Questão 16 Unifesp 2026 - 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 16

Probabilidade Princípio Fundamental da Contagem

Uma caixa contém prismas regulares, todos distintos entre si em relação a quatro características: o material de que são feitos (plástico ou acrílico), sua altura (10 cm, 15 cm, 20 cm ou 25 cm), sua cor (amarela, azul, verde ou vermelha) e o polígono que forma sua base (triângulo, quadrado, pentágono, hexágono ou heptágono). As arestas das bases desses prismas têm a mesma medida, e a caixa contém prismas com todas as combinações possíveis das características indicadas.

a) Ao se escolher aleatoriamente um desses prismas, qual a probabilidade de ele ser de plástico, mas não ser da cor azul?

b) Dois prismas quaisquer são distintos em uma, duas, três ou quatro características. Por exemplo, o prisma triangular, de 10 cm de altura, vermelho, feito de plástico, tem três características distintas do prisma pentagonal, de 10 cm de altura, azul, feito de acrílico. Determine quantos prismas nessa caixa são distintos em exatamente duas característi cas do prisma heptagonal, de 20 cm de altura, verde, feito de acrílico.

Resolução

Primeiramente, determinamos o número total de prismas na caixa. O número total de combinações é dado pelo produto do número de opções para cada característica:

Material: 2 opções (plástico, acrílico)
Altura: 4 opções (10 cm, 15 cm, 20 cm, 25 cm)
Cor: 4 opções (amarela, azul, verde, vermelha)
Base: 5 opções (triângulo, quadrado, pentágono, hexágono, heptágono)

a) O número total de prismas, $N_{T}$ , é:

$N_{T} = 2 \times 4 \times 4 \times 5 = 160$

Portanto, o espaço amostral total tem 160 prismas.

Para calcular a probabilidade, precisamos determinar o número de prismas que satisfazem as duas condições simultaneamente:

Material: Plástico (1 opção)
Cor: Amarela, verde ou vermelha (3 opções).
Altura: 4 opções (não há restrição)
Base: 5 opções (não há restrição)

O número de prismas que são de plástico e não são azuis, $N_{A}$ , é:

$N_{A} = 1 \times 3 \times 4 \times 5 = 60$

A probabilidade, $P (A)$ , é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos:

$P (A) = \frac{N_{A}}{N_{T}} = \frac{60}{160} = \frac{3}{8}$

A probabilidade é $\frac{3}{8}$ .

b) O prisma de referência tem as seguintes características:

Material: Acrílico
Altura: 20 cm
Cor: Verde
Base: Heptágono

Para que um prisma seja distinto do prisma de referência em exatamente duas características, ele deve ser igual ao prisma de referência nas outras duas características. Listamos a seguir os 6 casos de pares de características distintas e o número de prismas para cada um:

Distintas em Material e Altura (Iguais em Cor e Base): $= 1 \times 3 \times 1 \times 1 = 3$
Distintas em Material e Cor (Iguais em Altura e Base): $= 1 \times 1 \times 3 \times 1 = 3$
Distintas em Material e Base (Iguais em Altura e Cor): $= 1 \times 1 \times 1 \times 4 = 4$
Distintas em Altura e Cor (Iguais em Material e Base): $= 1 \times 3 \times 3 \times 1 = 9$
Distintas em Altura e Base (Iguais em Material e Cor): $= 1 \times 3 \times 1 \times 4 = 12$
Distintas em Cor e Base (Iguais em Material e Altura): $= 1 \times 1 \times 3 \times 4 = 12$

O número total de prismas distintos em exatamente duas características é a soma desses resultados:

$N_{B} = 3 + 3 + 4 + 9 + 12 + 12 = 43$

O número de prismas distintos em exatamente duas características do prisma de referência é $43$ .