Questão 2 Fuvest 2026 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Trabalho no Campo Elétrico Campo elétrico uniforme

Um dos decaimentos radioativos mais relevantes é o decaimento alfa (α), em que um núcleo pesado, como Polônio 210 ou Urânio 235, decai emitindo uma partícula α, que é essencialmente um núcleo de Hélio formado por 2 prótons e 2 nêutrons. Como são partículas eletricamente carregadas, as partículas α podem ser aceleradas/desaceleradas por campos elétricos e/ou magnéticos. Por conta disso, embora sejam emitidas com energias da ordem de MeV, as partículas α perdem (transferem) grande parte dessa energia ao interagir com moléculas e átomos, seja no ar ou em tecidos biológicos.
Nos itens a seguir, considere uma partícula α que foi emitida com energia cinética inicial de 5,30 MeV.
a) Se a partícula α perde energia a uma taxa de 100 keV/μm ao penetrar um tecido biológico como a pele, ela conseguiria atravessar a epiderme, que tem espessura de 0,1 mm? Justifique a sua resposta.
Considere uma situação em que a partícula α está se movendo sob a ação de um campo elétrico uniforme na mesma direção e em sentido oposto à sua velocidade, conforme mostra a figura:

b) Se o campo elétrico tem módulo de 2 x 10⁵ V/m, determine a magnitude da força elétrica que atua sobre a partícula α.
c) Qual a magnitude do campo elétrico necessária para que a partícula α perca 1% de sua energia cinética inicial após percorrer 10 cm sob a ação desse campo?
Note e adote:
Carga do próton: $q_{p} = + 1, 6 \times 10^{- 19} C$
$1 eV = 1, 6 \times 10^{- 19} J$

Resolução

Consideração inicial

A partícula $α$ é um núcleo de Hélio $H e^{2 +}$ , composta por 2 prótons e 2 nêutrons. Sua carga elétrica $q_{α}$ é a soma das cargas dos prótons, já que os nêutrons não possuem carga elétrica:

$q_{α} = 2 \times q_{p} = 2 \times (+ 1, 6 \times 10^{- 19} C) = + 3, 2 \times 10^{- 19} C .$

a) O problema descreve a perda de energia devido à interação com o meio (tecido biológico) usando uma taxa média de energia perdida por unidade de distância percorrida (poder de penetração). A perda total de energia $Δ E_{perdida}$ ao percorrer uma distância

$d = 0, 1 mm = 100 μm,$

é dada por:

$Δ E_{perdida} = Taxa \times d \Rightarrow$

$Δ E_{perdida} = \frac{100 keV}{μm} \times (100 μm) \Rightarrow$

$Δ E_{perdida} = 10 000 keV = 10 MeV .$

Nas passagens acima, consideramos que

$1000 keV = 10^{3} \cdot 10^{3} eV = 10^{6} eV = 10 MeV .$

Como a energia total que deveria ser perdida ao atravessar a epiderme $10 MeV$ é maior do que a energia cinética inicial da partícula, $5300 keV$ , a partícula $α$ não consegue atravessar a epiderme.

b) A figura e o texto indicam que a partícula $α$ está sob a ação de um campo elétrico $\vec{E}$ . A força elétrica $\vec{F}$ que atua sobre uma carga $q$ em um campo elétrico é dada por

$\vec{F} = q \vec{E} .$

A magnitude da força $F$ é dada por

$F = q E .$

Dado que a carga da partícula $α$ é $q_{α} = 3, 2 \times 10^{- 19} C$ e a intensidade do campo elétrico é $E = 2 \cdot 10^{5} V / m$ , temos, em unidades do Sistema Internacional,

$F = (3, 2 \times 10^{- 19} C) \times (2 \times 10^{5} V / m) \Rightarrow$

$F = 6, 4 \times 10^{- 14} N .$

A magnitude da força elétrica que atua sobre a partícula $α$ é $6, 4 \times 10^{- 14} N$ .

c) A perda de energia $Δ E$ da partícula é igual ao módulo $W_{F}$ do trabalho realizado pela força elétrica. Como o campo elétrico é oposto ao sentido do movimento, a força elétrica também é oposta ao sentido do movimento pois a partícula possui carga elétrica positiva. Se trata de uma perda de energia cinética, pois a força elétrica é contrária ao deslocamento. Assim,

$Δ E = W_{F} = q \cdot U .$

Sendo um campo elétrico uniforme, temos que $U = E \cdot d$ , com $d = 10 cm = 0, 1 m$ . Dessa forma, obtemos

$Δ E = q \cdot E \cdot D \Rightarrow E = \frac{Δ E}{q \cdot D} .$ (1)

Em joule, a energia inicial da partícula é

$E_{0} = 5, 3 MeV = 5, 3 \cdot 10^{6} eV = 5, 3 \cdot 10^{6} \cdot 1, 6 \cdot 10^{- 19} J \Rightarrow$

$E_{0} = 8, 48 \cdot 10^{- 13} J .$

O valor energia perdida é 1% dessa quantidade, logo

$Δ E = \frac{1}{100} E_{0} = \frac{1}{100} \cdot 8, 48 \cdot 10^{- 13} = 8, 48 \cdot 10^{- 15} J .$ .

Finalmente, substituindo os dados na equação (1), obtemos, em unidades do Sistema Internacional,

$E = \frac{8, 48 \cdot 10^{- 15}}{3, 2 \cdot 10^{- 19} \cdot 0, 1} \Rightarrow$

$E = 2, 65 \cdot 10^{5} V / m .$

A magnitude do campo elétrico necessária é $2, 65 \cdot 10^{5} V / m$ .