Questão 23 Unesp 2026 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 23

Matemática Financeira

Um estudante recebeu R$ 10.000,00 de presente dos seus pais e tem o objetivo de investir esse montante por 2 anos, a fim de usá-lo para custear o início do seu curso de ensino superior. Esse estudante avaliou duas opções de investimento:
Opção A: investir todo o dinheiro a uma taxa de rendimento mensal de 0,5%, com isenção de imposto.
Opção B: investir todo o dinheiro em um fundo com taxa de rendimento anual de 13% e desconto de 15% de imposto anual sobre o rendimento anual. Após o primeiro ano, o saldo da aplicação, já descontado o imposto, é reinvestido nas mesmas condições.
Para responder aos itens da questão, utilize as aproximações dos valores das potências apresentadas na tabela:

a) Desconsiderando a inflação, calcule o valor aproximado da diferença entre os rendimentos líquidos (rendimentos com o desconto de impostos) nas opções B e A do dinheiro do estudante ao final de 2 anos.
b) Define-se o poder de compra do dinheiro aplicado em um investimento como sendo o valor líquido resgatado ao final do investimento ajustado pela inflação, ou seja, é o valor que, corrigido pela inflação futura, resulta no valor líquido futuro. Calcule o valor aproximado do poder de compra do dinheiro aplicado pelo estudante na opção A ao final de 2 anos, assumindo uma taxa de inflação anual de 4,8%.

Resolução

a) Vamos determinar a diferença entre Rendimentos líquidos ao final de 2 anos das duas aplicações:

O capital inicial é $C_{0} = 10.000$ reais.

O período de investimento é de $t = 2$ anos.

Opção A: Cálculo do Montante (Valor Final) :

Taxa mensal: $i_{m} = 0,5 % = 0,005$ , com isenção de imposto.

Período: número de meses: $n = 2 \times 12 = 24$ meses.

O montante final ( $M_{A}$ ) é dado pela fórmula de juros compostos:

$M_{A} = C_{0} \times {(1 + i_{m})}^{n}$

Substituindo os valores:

$M_{A} = 10.000 \times {(1 + 0,005)}^{24}$

$M_{A} = 10.000 \times {(1,005)}^{24}$

Utilizando a aproximação da tabela para ${(1,005)}^{24} = 1, 127$ .

Logo, o rendimento da aplicação A, é:

$R_{A} = 10000 (1, 127) - 10000 = 11270 - 10000 = 1270$

Portanto, o rendimento é $R_{A} = R$ 1270, 00$ .

Opção B: Cálculo do Montante (Valor Final):

A Opção B oferece uma taxa de rendimento anual de $i_{anual} = 13 % = 0,13$ , com imposto de $I = 15 % = 0,15$ sobre o rendimento anual. O saldo é reinvestido após o primeiro ano.

Então, anualmente o rendimento será de: $i_{anual} = 13 % \cdot (1 - 85 %) = 11, 05 % = 0, 1105$ , já incluindo os impostos. Logo:

Período: $n = 2$ anos.

O montante final ( $M_{B}$ ) é dado pela fórmula de juros compostos:

$M_{B} = C_{0} \times {(1 + i_{a n u a l})}^{n}$

Substituindo os valores:

$M_{A} = 10.000 \times {(1 + 0, 1105)}^{2}$

$M_{A} = 10.000 \times {(1,1105)}^{2}$

Utilizando a aproximação da tabela para ${(1,1105)}^{2} = 1, 233$ .
Logo, o rendimento da aplicação B, é:

$R_{B} = 10.000 \times 1, 233 - 10000 = 12330 - 10000 = 2330$

Portanto, o rendimento é $R_{B} = R$ 2330, 00$ .

Então, a diferença entre os rendimentos líquidos das aplicações é

$R_{B} - R_{A} = R$ 1060, 00$

b) O poder de compra da opção A:

Primeiramente vamos determinar a inflação:

Inflação: $i_{i n f l a ç ã o} = 4, 8 % = 0, 048$

Período: $n = 2$ anos.

$I n f l a ç ã o = {(1 + 0, 048)}^{2} = {(1, 048)}^{2}$

Utilizando a aproximação da tabela: ${(1, 048)}^{2} = 1, 098$

Logo, para o período de 2 anos:

$I n f l a ç ã o = 9, 8 %$

Portanto, o poder de compra, corrigido pela inflação, é: $\frac{11270}{1, 098} = R $ 10264, 12$ .