Questão 24 Unesp 2026 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 24

Princípio Fundamental da Contagem

Observe três modelos de cadeados, com as respectivas instruções e recomendações de registro da senha de abertura dos cadeados:

a) Calcule o número de possibilidades de senhas distintas dos cadeados 1 e 2, seguindo as instruções e recomendações dos fabricantes. No caso do cadeado 2, sua resposta pode ser dada na forma fatorial $\frac{x!}{y!}$ , sem necessidade de conta.
b) Calcule o número de possibilidades de senhas distintas do cadeado 3, seguindo as instruções do fabricante.

Resolução

a) Para o Cadeado 1, como são quatro cilindros com 10 possibilidades cada um, o total de sequências é

$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10.000 senhas$

Porém, como o fabricante não recomenda a utilização do dia e mês de nascimento como senha, a quantidade de senhas possíveis para o Cadeado 1 seguindo as recomendações do fabricante é

$10.000 - 1 = 9.999 senhas$

Já no Cadeado 2, devemos escolher uma letra diferente para cada cilindro. Então, o total de senhas é

$26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 = \frac{26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21!}{21!} = \frac{26!}{21!} senhas$

Observação: A título de curiosidade, o total de senhas possíveis no Cadeado 2 é $7.893.600$ .

b) O total de sequências de seis dígitos utilizando algarismos de 1 até 8 é

$8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 262.144$

Devemos descontar dessa quantidade aquelas sequências em que há quatro ou mais repetições de um mesmo algarismo. Separamos em três casos:

Exatamente 4 algarismos iguais:

Escolha do algarismo que repetirá 4 vezes: $8 possibilidades$ ;
Escolha das posições de repetição desse algarismo: $C_{6, 4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = 15 possibilidades$ ;
Escolha ordenada dos outros dois algarismos da sequência: $7 \cdot 7 = 49 possibilidades$ .

Então, pelo Princípio fundamental da contagem, a quantidade de sequências com exatamente quatro algarismos iguais é

$8 \cdot 15 \cdot 49 = 5.880$

Exatamente 5 algarismos iguais:

Escolha do algarismo que repetirá 5 vezes: $8 possibilidades$ ;
Escolha das posições de repetição desse algarismo: $C_{6, 5} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = 6 possibilidades$ ;
Preenchimento do outro algarismo da sequência: $7 possibilidades$ .

Assim, novamente pelo Princípio fundamental da contagem, a quantidade de sequências com exatamente cinco algarismos iguais é

$8 \cdot 6 \cdot 7 = 336$

Exatamente 6 algarismos iguais:

Nesse caso, basta escolher o algarismo que se repetirá, pois ele será o único algarismo na sequência. Então, há $8 possibilidades$ .

Logo, o total de sequencias indesejadas é

$5.880 + 336 + 8 = 6.224$

Portanto, o total de senhas possíveis para o Cadeado 3 é

$262.144 - 6.224 = 255.920 senhas$