Questão 4 Unicamp 2026 - 2ª fase - dia 2

a) Para $k=1$, $b=2$ e $d=4$, temos o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{l}{\log }_{2}2·x+{\log }_{4}2·y=1\\ {\log }_{4}4·x+{\log }_{2}4·y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1·x+\frac{1}{2}·y=1\\ 1·x+2·y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{2}·y=1\\ y=-\frac{x}{2}\end{array}\right.$

Substituindo a segunda equação na primeira, vem que:

$x+\frac{1}{2}·\left(-\frac{x}{2}\right)=1\iff \left(1-\frac{1}{4}\right)·x=1\iff \frac{3}{4}·x=1\iff x=\frac{4}{3}$

Voltando à igualdade $y=-\frac{x}{2}$, segue que:

$y=-\frac{1}{2}·\frac{4}{3}\iff y=-\frac{2}{3}$

Logo:

$\boxed{V=\left\{\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3}\right)\right\}}$

b) Inicialmente, lembremos que, para a existência de ${\log }_{a}M$, é necessário e suficiente que $\left\{\begin{array}{l}0<a\ne 1\\ M>0\end{array}\right.$.

No caso do exercício, devemos impor que: $\left\{\begin{array}{l}0<b\ne 1\\ 0<d\ne 1\end{array}\right.$

Para $k=0$, fazendo a mudança para a base $b$ de todos os logaritmos, ficamos com o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{l}{\log }_{b}2·x+\frac{{\log }_{b}b}{{\log }_{b}4}·y=0\\ \frac{{\log }_{b}4}{{\log }_{b}d}·x+\frac{{\log }_{b}d}{{\log }_{b}2}·y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\log }_{b}2·x+\frac{1}{{\log }_{b}4}·y=0\\ \frac{{\log }_{b}4}{{\log }_{b}d}·x+\frac{{\log }_{b}d}{{\log }_{b}2}·y=0\end{array}\right.$

A partir daqui, podemos propor dois modos de continuar a análise:

Resolução 1

Mutliplicando ambos os membros da primeira equação por ${\log }_{b}4$, e da segunda equação por ${\log }_{b}d·{\log }_{b}2$, ficamos com:

$\left\{\begin{array}{l}{\log }_{b}2·{\log }_{b}4·x+y=0\\ {\log }_{b}2·{\log }_{b}4·x+{\left({\log }_{b}d\right)}^2·y=0\end{array}\right.$

Somando agora a primeira equação, multiplicada por $-1$, à segunda equação, vem que:

$\left\{\begin{array}{l}{\log }_{b}2·{\log }_{b}4·x+y=0\\ \left[{\left({\log }_{b}d\right)}^2-1\right]·y=0\end{array}\right.$

A partir da segunda equação, temos que:

• se ${\left({\log }_{b}d\right)}^2-1\ne 0$, esse sistema terá apenas a solução trivial $\left(0,0\right)$ como solução e, portanto, será do tipo possível e determinado (SPD).
• se ${\left({\log }_{b}d\right)}^2-1=0$, a segunda equação se tornará uma redundância da forma $0=0$, de modo que ficaremos com apenas uma equação útil para 2 incógnitas. Nesse caso, teremos um sistema possível e indeterminado (SPI).

Como queremos que o sistema tenha infinitas soluções, isto é, seja do tipo SPI, impomos que:

${\left({\log }_{b}d\right)}^2-1=0\iff {\left({\log }_{b}d\right)}^2=1\iff$

${\log }_{b}d=1 \text{ou} {\log }_{b}d=-1\iff$

$b^1=d \text{ou} b^{-1}=d\iff d=b \text{ou} d=\frac{1}{b}$

Assim, teremos sistema possível e indeterminado para todos os pares $\left(b,d\right)$ tais que:

$\boxed{\left\{\begin{array}{l}d=b\\ 0<b\ne 1\end{array}\right. \text{ou} \left\{\begin{array}{l}d=\frac{1}{b}\\ 0<b\ne 1\end{array}\right.}$

Observação: tanto a condição $d=b$ quanto a condição $d=\frac{1}{b}$ fazem com que a exigência $0<b\ne 1$ garanta a exigência $0<d\ne 1$, por isso não é necessário escrever as duas na resposta final (embora não seja um problema se estiverem ambas escritas).

Resolução 2

O sistema linear $\left\{\begin{array}{l}{\log }_{b}2·x+\frac{1}{{\log }_{b}4}·y=0\\ \frac{{\log }_{b}4}{{\log }_{b}d}·x+\frac{{\log }_{b}d}{{\log }_{b}2}·y=0\end{array}\right.$ é um sistema linear homogêneo, de modo que ele é sempre um sistema possível, pois sempre admite pelo menos a solução trivial $\left(0,0\right)$ como solução. Pela regra de Cramer, sendo $A$ a matriz dos coeficientes, temos que:

• se $\det A\ne 0$, temos um sistema possível e determindo (SPD);
• se $\det A=0$, temos um sistema possível e indeterminado (SPI) ou um sistema impossível (SI).

Como não há chance de ser SI no caso de um sistema homogêneo, para que ele seja SPI, é necessário e suficiente que:

$\det A=0\iff \left|\begin{array}{cc}{\log }_{b}2& \frac{1}{{\log }_{b}4}\\ \frac{{\log }_{b}4}{{\log }_{b}d}& \frac{{\log }_{b}d}{{\log }_{b}2}\end{array}\right|=0\iff$

$\cancel{{\log }_{b}2}·\frac{{\log }_{b}d}{\cancel{{\log }_{b}2}}-\frac{1}{\bcancel{{\log }_{b}4}}·\frac{\bcancel{{\log }_{b}4}}{{\log }_{b}d}=0\iff$

${\log }_{b}d=\frac{1}{{\log }_{b}d}\iff {\left({\log }_{b}d\right)}^2=1$

${\log }_{b}d=1 \text{ou} {\log }_{b}d=-1\iff$

$b^1=d \text{ou} b^{-1}=d\iff d=b \text{ou} d=\frac{1}{b}$

Assim, teremos sistema possível e indeterminado para todos os pares $\left(b,d\right)$ tais que:

$\boxed{\left\{\begin{array}{l}d=b\\ 0<b\ne 1\end{array}\right. \text{ou} \left\{\begin{array}{l}d=\frac{1}{b}\\ 0<b\ne 1\end{array}\right.}$