Questão 5 Unicamp 2026 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Funções Circulares Função Quadrática

Dizemos que uma função não-constante $f (x)$ é periódica se existe $T > 0$ tal que $f (x) = f (x + T)$ para todo número $x$ real.

a) A função $h (x) = \cos (5 x) + sen (x / 7)$ é periódica? Justifique.

b) A função $p (x) = x^{2} - 1$ é periódica? Justifique.

Resolução

a) Sejam $f (x)$ e $g (x)$ funções periódicas de períodos $T_{f} > 0$ e $T_{g} > 0$ , ou seja, para qualquer $x \in ℝ$ :

$f (x + T_{f}) = f (x) e g (x + T_{g}) = g (x)$

Se existem valores inteiros positivos $α$ e $β$ tais que

$α \cdot T_{f} = β \cdot T_{g} (*)$

então, a função $p (x) = f (x) + g (x)$ é periódica de período $T = α \cdot T_{f} = β \cdot T_{g}$ , onde os valores $α$ e $β$ considerados são os menores inteiros positivos que satisfazem a igualdade $(*)$ .

Com efeito, como $f$ e $g$ são periódicas, temos:

$f (x + α \cdot T_{f}) = f (x + (α - 1) \cdot T_{f}) = f (x + (α - 2) \cdot T_{f}) = \dots = f (x)$

$g (x + β \cdot T_{g}) = g (x + (β - 1) \cdot T_{g}) = g (x + (β - 2) \cdot T_{g}) = \dots = g (x)$

Portanto,

$p (x + T) = f (x + T) + g (x + T) = f (x + α \cdot T_{f}) + g (x + β \cdot T_{g}) = f (x) + g (x) = p (x)$

Note então que $f (x) = \cos (5 x)$ é uma função periódica de período $T_{f} = \frac{2 π}{5}$ e $g (x) = sen (\frac{x}{7})$ é uma função periódica de período $T_{g} = \frac{2 π}{\frac{1}{7}} = 14 π$ . Então, como $35 \cdot T_{f} = 35 \cdot \frac{2 π}{5} = 14 π = T_{g}$ , pelo discutido anteriormente, resulta que $p (x) = \cos (5 x) + sen (\frac{x}{7})$ é uma função periódica de período $T = 14 π$ .

b) Para que uma função $p$ seja periódica, todos os valores de seu conjunto imagem devem estar associados a infinitos valores distintos do seu domínio, uma vez que é necessário ocorrer, para algum valor $T > 0$ e para qualquer $x \in ℝ$

$\dots = p (x - 2 T) = p (x - T) = p (x) = p (x + T) = p (x + 2 T) = \dots$

Dito de outro modo, cada elemento de seu conjunto imagem precisa ser atingido pelo menos uma vez dentro de cada período da função.

Porém, em qualquer função quadrática, cada valor de sua imagem está associado a, no máximo, dois valores do domínio. No caso da função $p (x) = x^{2} - 1$ , por exemplo, para $k \geq - 1$ , os únicos números $x \in ℝ$ que são raízes de $p (x) = k$ são

$x = - \sqrt{k + 1} e x = \sqrt{k + 1}$ .

Portanto, a função $p (x) = x^{2} - 1$ não é periódica.

Observação: de modo mais geral, nenhuma função polinomial é periódica, pois cada elemento do conjunto imagem de uma função polinomial de grau $n ⩾ 1$ estará associado a, no máximo, $n$ valores distintos de seu domínio, fato este garantido pelo Teorema Fundamental da Álgebra. Assim, nenhuma imagem pode ser atingida infinitas vezes nesse tipo de função.