Questão 6 Fuvest 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Diluição

Os chamados “remédios homeopáticos” são produzidos seguindo a farmacotécnica homeopática, que se baseia em diluições sequenciais de determinados compostos naturais. A dosagem utilizada desses produtos é da ordem de poucos mL.Uma das técnicas de diluição homeopática é chamada de diluição centesimal (CH), ou seja, uma parte da solução é diluída em 99 partes de solvente e a solução resultante é homogeneizada (ver esquema).
Alguns desses produtos homeopáticos são produzidos com até 200 diluições centesimais sequenciais (200CH).

Considerando uma solução de partida de 100 mL com concentração 1 mol/L de princípio ativo, a partir de qual diluição centesimal a solução passa a não ter, em média, nem mesmo uma molécula do princípio ativo?

Note e adote: Número de Avogadro = $6 \cdot 10^{23}$

a)	12ª diluição (12CH).
b)	24ª diluição (24CH).
c)	51ª diluição (51CH).
d)	99ª diluição (99CH).
e)	200ª diluição (200CH).

Resolução

Considerando a concentração inicial $C_{i}$ , ao tomarmos 1 mL dessa solução e diluirmos em 99 mL de água teremos um total de 100 mL de solução. Dessa forma, a concentração final ( $C_{1}$ ) diminuirá 100 vezes a cada etapa, pois:

$C_{i} \cdot V_{i} = C_{1} \cdot V_{f} \Rightarrow C_{i} \cdot 1 m L = C_{1} \cdot 100 m L \Rightarrow C_{1} = \frac{C_{i}}{100}$

Para a segunda dilução e concentração final C₂, teremos:

$\frac{C_{i}}{100} \cdot V_{i} = C_{2} \cdot V_{f} \Rightarrow \frac{C_{i}}{100} \cdot 1 m L = C_{2} \cdot 100 m L \Rightarrow C_{2} = \frac{C_{i}}{100 \times 100} = \frac{C_{i}}{100^{2}}$

É possível observar que as concetrações formam uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{100}$ . Desse modo, temos o termo geral da PG:

$C_{n} = C_{1} \cdot {(\frac{1}{100})}^{n - 1} = \frac{C_{i}}{100} \cdot \frac{1}{100^{n - 1}} \Rightarrow C_{n} = \frac{C_{i}}{100^{n}}$

onde n representa o número de diluições.

Considerando que a concentração inicial é de 1 mol/L, temos o equivalente a 6×10²³ moléculas por litro ( $C_{i}$ ). Sendo assim, para sobrar apenas 1 molécula ( $C_{n}$ ), teremos no mínimo:

$C_{n} = \frac{C_{i}}{100^{n}} \Rightarrow 1 = \frac{6 \cdot 10^{23}}{100^{n}} \Rightarrow$

$100^{n} = 6 \cdot 10^{23} \Rightarrow \log (100^{n}) = \log (6 \cdot 10^{23}) \Rightarrow n \cdot \log 10^{2} = \log 6 + \log 10^{23} \Rightarrow 2 n \cdot \log 10 = \log 6 + 23 \cdot \log 10 \Rightarrow 2 n = \log 6 + 23 \Rightarrow n = 0, 5 \cdot \log 6 + 11, 5$

Visto que o $\log 6 < \log 10$ , ou seja, $\log 6 < 1$ , temos que, ao dividir esta inequação por 2, chegaremos em:

$0, 5 \cdot \log 6 < 0, 5$

Considerando a relação anterior para o resultado de n, teremos que:

$0, 5 \cdot \log 6 < 0, 5 \Rightarrow \underset{n}{\underset{⏟}{0, 5 \cdot \log 6 + 11, 5}} < 0, 5 + 11, 5 \Rightarrow n < 12$

Assim, serão necessárias pelo menos 12 diluições centesimais para que sobre ao menos 1 molécula ao final.

Como o objetivo é que não se tenha nem ao mesmo uma molécula, então, o número de diluições deverá ser a partir de 12.